在数学中，等比数列是一种常见的数列形式，其特点是每一项与前一项的比值保持恒定。这种特性使得等比数列具有独特的性质和广泛的应用场景。本文将对等比数列的核心公式进行系统总结，帮助读者快速掌握这一知识点。

首先，等比数列的基本定义是：若一个数列 {a_n} 满足 \(\frac{a_{n+1}}{a_n} = q\) （其中 \(q\) 为常数），则称该数列为等比数列，\(q\) 被称为公比。例如，数列 2, 4, 8, 16... 是一个公比为 2 的等比数列。

接下来，我们整理等比数列的主要公式：

1. 第 n 项公式

等比数列的第 \(n\) 项可以表示为：

\[a_n = a_1 \cdot q^{n-1}\]

其中，\(a_1\) 是首项，\(q\) 是公比，\(n\) 是项数。

2. 前 n 项和公式

等比数列的前 \(n\) 项和 \(S_n\) 可以通过以下公式计算：

\[S_n = \begin{cases}

\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}, & q \neq 1 \\

n \cdot a_1, & q = 1

\end{cases}\]

3. 无穷项和公式（当 \(|q| < 1\) 时）

如果等比数列的公比满足 \(|q| < 1\)，那么它的无穷项和 \(S_\infty\) 存在，并且可以通过如下公式求得：

\[S_\infty = \frac{a_1}{1-q}\]

4. 公比的求解公式

已知等比数列的任意两项 \(a_m\) 和 \(a_n\)，可以利用以下公式求出公比 \(q\)：

\[q = \sqrt[n-m]{\frac{a_n}{a_m}}\]

应用举例

假设有一等比数列，首项 \(a_1 = 3\)，公比 \(q = 2\)。

- 第 5 项为：\[a_5 = 3 \cdot 2^{5-1} = 48\]

- 前 5 项和为：\[S_5 = \frac{3(1-2^5)}{1-2} = 93\]

通过这些公式，我们可以轻松解决涉及等比数列的各种问题。希望本文的总结能为大家提供实用的帮助！

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