在数学学习中，平面直角坐标系与平行线是两个非常重要的概念。它们不仅在几何学中有广泛应用，在解决实际问题时也起着关键作用。今天，我们将深入探讨这两个主题，并通过一些典型的压轴题目来帮助大家更好地理解和掌握这些知识点。

首先，让我们来看一下如何利用平面直角坐标系来找规律。平面直角坐标系由两条相互垂直的数轴组成，分别称为x轴和y轴。这两条轴将整个平面分成了四个象限。在解题过程中，我们常常需要根据已知条件确定点的位置或找出隐藏的模式。例如，给定一系列点的坐标，我们需要判断它们是否位于同一条直线上；或者当给出某些特定条件时，推测出接下来可能出现的点的坐标。

接下来是关于平行线的相关内容。平行线是指在同一平面内永不相交的两条或多条直线。在几何证明中，平行线经常作为辅助线出现，用来构造新的图形以达到解决问题的目的。此外，在计算面积或体积等问题时，了解平行线之间的关系同样至关重要。

为了让大家更直观地理解上述理论知识的应用，下面我们结合具体实例来进行分析：

例题1：已知A(1,3), B(-2,-5), C(4,k)三点共线，求k值。

解析：若三点共线，则任意两点之间连线的方向向量应该相等。因此我们可以设AB=λAC，然后列出方程组求解即可得到k=7。

例题2：如图所示，在△ABC中，DE//BC且D、E分别位于边AB、AC上。若AD:DB=AE:EC=1:2，求证S△ADE:S△ABC=1:9。

解析：由于DE//BC，所以△ADE∽△ABC。再结合比例关系可得相似比为1:3，从而得出面积比为1:9。

通过以上两个例子可以看出，在面对复杂的数学问题时，合理运用平面直角坐标系以及平行线的概念能够大大简化我们的思考过程并提高解题效率。希望大家能够在今后的学习实践中多多练习此类题目，逐步提升自己的逻辑推理能力和空间想象能力。