在数学的学习过程中，圆和方程是两个非常重要的概念。它们不仅在理论研究中占据核心地位，也在实际问题解决中发挥着重要作用。本文将围绕圆与方程的关系，设计一系列练习题，帮助读者巩固相关知识。
练习一：标准方程的应用
已知一个圆的圆心位于点(3, 4)，半径为5。请写出该圆的标准方程，并判断点(8, 7)是否在此圆上。
解析：
标准方程的形式为 \((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\)，其中 \((a, b)\) 是圆心坐标，\(r\) 是半径。
代入已知条件：
\[
(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 5^2
\]
化简得：
\[
(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 25
\]
接下来判断点(8, 7)是否在圆上。将点的坐标代入方程：
\[
(8 - 3)^2 + (7 - 4)^2 = 5^2
\]
\[
5^2 + 3^2 = 25
\]
\[
25 = 25
\]
因此，点(8, 7)确实在圆上。
练习二：一般方程的转换
将圆的标准方程 \((x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 16\) 转换为一般形式。
解析：
标准方程展开后为：
\[
x^2 - 4x + 4 + y^2 + 6y + 9 = 16
\]
合并同类项：
\[
x^2 + y^2 - 4x + 6y - 3 = 0
\]
因此，一般方程为：
\[
x^2 + y^2 - 4x + 6y - 3 = 0
\]
练习三：切线方程的求解
已知圆的方程为 \(x^2 + y^2 = 25\)，求过点(3, 4)的切线方程。
解析：
首先确认点(3, 4)是否在圆上。代入圆的方程：
\[
3^2 + 4^2 = 25
\]
\[
9 + 16 = 25
\]
点(3, 4)确实在圆上。设切线方程为 \(y - 4 = k(x - 3)\)，即 \(y = kx - 3k + 4\)。
将切线方程代入圆的方程 \(x^2 + y^2 = 25\)，得到：
\[
x^2 + (kx - 3k + 4)^2 = 25
\]
展开并整理后，利用判别式为零的条件求出斜率 \(k\)，进而得到切线方程。
通过以上练习，我们可以看到圆与方程之间的紧密联系。希望这些题目能够帮助大家更好地掌握这一知识点。
