离散数学作为计算机科学与技术领域的重要基础课程，涵盖了逻辑推理、集合论、图论、代数结构等多个核心知识点。为了帮助大家更好地理解和掌握这些知识，本文将结合一道典型的期末考试题目进行详细解析。

题目：

设 \( G \) 是一个无向图，顶点集 \( V(G) = \{v_1, v_2, v_3, v_4\} \)，边集 \( E(G) = \{(v_1, v_2), (v_2, v_3), (v_3, v_4), (v_4, v_1)\} \)。判断 \( G \) 是否为欧拉图，并给出理由。

解答：

第一步：理解欧拉图的概念

欧拉图是指一个图中存在一条经过每条边恰好一次的回路（称为欧拉回路）。如果一个图是连通的且所有顶点的度数均为偶数，则该图一定是欧拉图。

第二步：计算顶点的度数

根据题意，图 \( G \) 的顶点和边如下：

- 顶点集：\( V(G) = \{v_1, v_2, v_3, v_4\} \)

- 边集：\( E(G) = \{(v_1, v_2), (v_2, v_3), (v_3, v_4), (v_4, v_1)\} \)

顶点的度数定义为其连接的边的数量：

- \( \deg(v_1) = 2 \) （连接 \( v_2 \) 和 \( v_4 \)）

- \( \deg(v_2) = 2 \) （连接 \( v_1 \) 和 \( v_3 \)）

- \( \deg(v_3) = 2 \) （连接 \( v_2 \) 和 \( v_4 \)）

- \( \deg(v_4) = 2 \) （连接 \( v_3 \) 和 \( v_1 \)）

第三步：验证条件

1. 连通性：观察边集可知，所有顶点都通过边相连，因此 \( G \) 是连通的。

2. 度数条件：所有顶点的度数均为偶数（均为 2）。

综上所述，图 \( G \) 满足欧拉图的两个必要条件，因此可以断定 \( G \) 是一个欧拉图。

第四步：构造欧拉回路

从任意顶点开始，按照边的顺序依次遍历即可构造欧拉回路。例如，从 \( v_1 \) 开始，可以得到以下欧拉回路：

\[ v_1 \to v_2 \to v_3 \to v_4 \to v_1 \]

总结：

通过以上分析，我们得出结论：图 \( G \) 是一个欧拉图，因为它是连通的且所有顶点的度数均为偶数。此外，构造出了一条欧拉回路 \( v_1 \to v_2 \to v_3 \to v_4 \to v_1 \)。

希望本题的解答能够帮助大家更好地理解离散数学中的相关概念！