在数学学习中，三角函数是一个重要的知识点，而正弦定理则是解决三角形问题的一个关键工具。本文将通过一些精选的练习题来帮助大家更好地理解和掌握正弦定理的应用，并附上详细的答案解析。
一、正弦定理的基本概念
正弦定理表述如下：在一个任意三角形ABC中，设a, b, c分别是角A, B, C所对的边长，则有：
\[
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}
\]
这个公式可以用来求解三角形中的未知边长或角度。
二、练习题
练习题1：
已知三角形ABC中，∠A=30°，∠B=60°，边长c=10，请计算边长a和b。
解答：
根据正弦定理：
\[
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}
\]
首先计算∠C：
\[
\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - 30^\circ - 60^\circ = 90^\circ
\]
然后代入数据：
\[
\frac{a}{\sin 30^\circ} = \frac{b}{\sin 60^\circ} = \frac{10}{\sin 90^\circ}
\]
由于\(\sin 90^\circ = 1\)，所以：
\[
\frac{a}{\sin 30^\circ} = 10 \quad \Rightarrow \quad a = 10 \cdot \sin 30^\circ = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5
\]
\[
\frac{b}{\sin 60^\circ} = 10 \quad \Rightarrow \quad b = 10 \cdot \sin 60^\circ = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}
\]
因此，边长\(a = 5\)，\(b = 5\sqrt{3}\)。
练习题2：
已知三角形ABC中，边长a=8，b=6，∠C=45°，请计算边长c。
解答：
利用正弦定理：
\[
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}
\]
先计算\(\sin C\)：
\[
\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}
\]
然后代入数据：
\[
\frac{8}{\sin A} = \frac{6}{\sin B} = \frac{c}{\frac{\sqrt{2}}{2}}
\]
接下来需要找到\(\sin A\)和\(\sin B\)的关系。根据余弦定理可以求得cos C：
\[
\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}
\]
利用余弦定理求c：
\[
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C
\]
\[
c^2 = 8^2 + 6^2 - 2 \cdot 8 \cdot 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}
\]
\[
c^2 = 64 + 36 - 48\sqrt{2}
\]
\[
c = \sqrt{100 - 48\sqrt{2}}
\]
最终结果为：
\[
c = \sqrt{100 - 48\sqrt{2}}
\]
三、总结
通过上述练习题，我们可以看到正弦定理在解决三角形问题时的强大功能。希望这些题目能够帮助大家加深对正弦定理的理解，并在实际应用中灵活运用。
如果还有其他疑问，欢迎继续探讨！
