在高中数学的学习过程中，函数是一个非常重要的概念，它贯穿了整个数学学习的始终。对于高一的学生来说，掌握好函数的基本性质和解题技巧是非常关键的一步。接下来，我们将通过一系列经典的练习题来帮助大家巩固和提高对函数的理解。

练习题一：定义域与值域

设函数 \( f(x) = \sqrt{x - 3} + \frac{1}{x - 4} \)，求其定义域和值域。

解析：

1. 定义域：首先考虑平方根部分，\( x - 3 \geq 0 \)，即 \( x \geq 3 \)。其次考虑分母部分，\( x - 4 \neq 0 \)，即 \( x \neq 4 \)。综合以上条件，定义域为 \( x \in [3, 4) \cup (4, +\infty) \)。

2. 值域：由于平方根部分的最小值为0（当 \( x = 3 \) 时），而分母部分随着 \( x \) 的增大逐渐趋于0，因此值域需要进一步分析具体数值范围。

练习题二：单调性判断

已知函数 \( g(x) = x^3 - 3x^2 + 2 \)，判断其在区间 \([0, 3]\) 上的单调性，并求出最大值和最小值。

解析：

1. 求导数 \( g'(x) = 3x^2 - 6x \)。

2. 解方程 \( g'(x) = 0 \)，得到 \( x = 0 \) 和 \( x = 2 \)。

3. 分析导数符号变化：

- 当 \( x \in [0, 2] \)，\( g'(x) < 0 \)，函数递减；

- 当 \( x \in [2, 3] \)，\( g'(x) > 0 \)，函数递增。

4. 最大值和最小值分别出现在端点和极值点处，计算得最大值为 \( g(3) = 2 \)，最小值为 \( g(2) = -2 \)。

练习题三：复合函数

设 \( h(x) = \ln(x^2 + 1) \)，求复合函数 \( h(h(x)) \) 的表达式。

解析：

直接代入即可，\( h(h(x)) = \ln((\ln(x^2 + 1))^2 + 1) \)。

练习题四：图像变换

函数 \( y = 2^{x+1} - 3 \) 的图像是由基本指数函数 \( y = 2^x \) 经过怎样的变换得到？

解析：

1. 横向平移：将 \( x \) 替换为 \( x + 1 \)，表示向左平移1个单位；

2. 纵向平移：整体向下平移3个单位。

通过上述练习题的训练，希望同学们能够更加熟练地运用函数的相关知识解决问题。记住，多做题、多总结是学好数学的关键！如果还有其他问题或需要进一步的帮助，请随时提问。