在数学学习中，分数指数是一个非常重要的概念。它不仅帮助我们更好地理解指数运算的规则，还为后续学习更复杂的数学知识奠定了基础。今天我们就通过一些具体的练习题来加深对分数指数的理解和掌握。

练习题一：基本计算

1. 计算 \( 8^{\frac{2}{3}} \)

2. 求解 \( 16^{-\frac{1}{4}} \)

3. 简化表达式 \( (27)^{\frac{1}{3}} \times (9)^{\frac{1}{2}} \)

解答：

1. \( 8^{\frac{2}{3}} = (2^3)^{\frac{2}{3}} = 2^{3 \cdot \frac{2}{3}} = 2^2 = 4 \)

2. \( 16^{-\frac{1}{4}} = (2^4)^{-\frac{1}{4}} = 2^{4 \cdot -\frac{1}{4}} = 2^{-1} = \frac{1}{2} \)

3. \( (27)^{\frac{1}{3}} \times (9)^{\frac{1}{2}} = (3^3)^{\frac{1}{3}} \times (3^2)^{\frac{1}{2}} = 3 \times 3 = 9 \)

练习题二：复杂表达式

1. 化简 \( \left( \frac{1}{16} \right)^{-\frac{3}{4}} \)

2. 计算 \( \left( 25^{\frac{1}{2}} \right)^{\frac{3}{2}} \)

3. 求解 \( \left( \frac{1}{8} \right)^{-\frac{2}{3}} \)

解答：

1. \( \left( \frac{1}{16} \right)^{-\frac{3}{4}} = (16^{-1})^{-\frac{3}{4}} = 16^{\frac{3}{4}} = (2^4)^{\frac{3}{4}} = 2^{4 \cdot \frac{3}{4}} = 2^3 = 8 \)

2. \( \left( 25^{\frac{1}{2}} \right)^{\frac{3}{2}} = (5)^{\frac{3}{2}} = (5^{\frac{1}{2}})^3 = (\sqrt{5})^3 = 5\sqrt{5} \)

3. \( \left( \frac{1}{8} \right)^{-\frac{2}{3}} = (8^{-1})^{-\frac{2}{3}} = 8^{\frac{2}{3}} = (2^3)^{\frac{2}{3}} = 2^{3 \cdot \frac{2}{3}} = 2^2 = 4 \)

总结

分数指数的计算涉及到将底数分解成其质因数的形式，并根据指数的性质进行简化。熟练掌握这些规则可以帮助我们在处理更复杂的数学问题时更加得心应手。希望以上的练习题能够帮助大家巩固分数指数的概念，并提高解题能力。继续努力，相信你一定能在数学之路上取得更大的进步！