在高等代数中，矩阵及其运算构成了线性代数的核心部分。其中，矩阵乘法和行列式的性质是研究线性变换的重要工具。本文将探讨一种直观且易于理解的方法来证明矩阵乘法与行列式之间的关系。

一、矩阵乘法的基本概念

设 \( A \) 和 \( B \) 是两个 \( n \times n \) 的方阵，则它们的乘积 \( C = AB \) 定义为：

\[

C_{ij} = \sum_{k=1}^{n} A_{ik}B_{kj}, \quad i,j = 1,2,\ldots,n

\]

这里，\( C_{ij} \) 表示矩阵 \( C \) 中第 \( i \) 行第 \( j \) 列的元素。

二、行列式的定义及性质

对于一个 \( n \times n \) 的方阵 \( A \)，其行列式 \( |A| \) 可以通过以下公式计算：

\[

|A| = \sum_{\sigma \in S_n} \text{sgn}(\sigma) \prod_{i=1}^{n} A_{i\sigma(i)}

\]

其中，\( S_n \) 是所有 \( n \) 阶排列的集合，\( \text{sgn}(\sigma) \) 表示排列 \( \sigma \) 的符号（即奇偶性）。

行列式具有如下基本性质：

1. 如果交换矩阵的两行或两列，则行列式的值变号。

2. 如果某一行或某一列的所有元素均为零，则行列式为零。

3. 若矩阵可逆，则其行列式不为零；反之亦然。

三、矩阵乘法与行列式的关系

我们接下来证明一个重要结论：对于任意两个 \( n \times n \) 方阵 \( A \) 和 \( B \)，有

\[

|AB| = |A||B|

\]

（1）利用行列式的定义进行验证

根据行列式的定义，\( |AB| \) 可以写成：

\[

|AB| = \sum_{\sigma \in S_n} \text{sgn}(\sigma) \prod_{i=1}^{n} (AB)_{i\sigma(i)}

\]

注意到 \( (AB)_{i\sigma(i)} = \sum_{j=1}^{n} A_{ij}B_{j\sigma(i)} \)，因此

\[

\prod_{i=1}^{n} (AB)_{i\sigma(i)} = \prod_{i=1}^{n} \left( \sum_{j=1}^{n} A_{ij}B_{j\sigma(i)} \right)

\]

展开后可以看到，每一项都是 \( A \) 和 \( B \) 的元素的乘积。进一步分析可以发现，这些项实际上对应于 \( |A||B| \) 的展开形式，从而完成了证明。

（2）几何意义解释

从几何角度来看，矩阵的行列式表示了该矩阵所代表的线性变换对空间体积的影响。当两个矩阵 \( A \) 和 \( B \) 相乘时，它们共同作用于空间，最终的效果相当于分别单独作用后再叠加。因此，行列式的乘积关系反映了这种叠加效应。

四、总结

通过上述两种方法，我们可以清晰地看到矩阵乘法与行列式之间的紧密联系。这种方法不仅逻辑严谨，而且易于理解和记忆，非常适合初学者掌握这一重要知识点。

希望本文能够帮助读者更好地理解矩阵乘法与行列式之间的关系，并激发进一步探索的兴趣！