在学习高等数学的过程中，掌握和理解各种数学公式是至关重要的。无论是微积分、线性代数还是概率统计，这些公式都是解决问题的基石。本文将对一些常见的高等数学公式进行整理和归纳，帮助读者更好地理解和应用。
一、微积分基础公式
1. 导数的基本公式：
- $ \frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1} $
- $ \frac{d}{dx} \sin x = \cos x $
- $ \frac{d}{dx} \cos x = -\sin x $
- $ \frac{d}{dx} e^x = e^x $
- $ \frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x} $
2. 求导法则：
- 乘积法则：$ (uv)' = u'v + uv' $
- 商法则：$ \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} $
- 链式法则：$ \frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x) $
3. 不定积分公式：
- $ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $（$ n \neq -1 $）
- $ \int \sin x dx = -\cos x + C $
- $ \int \cos x dx = \sin x + C $
- $ \int e^x dx = e^x + C $
- $ \int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C $
4. 定积分基本定理：
若 $ F(x) $ 是 $ f(x) $ 的一个原函数，则
$$
\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)
$$
二、泰勒展开与麦克劳林公式
泰勒公式用于将函数在某一点附近用多项式近似表示：
$$
f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + R_n(x)
$$
当 $ a = 0 $ 时，称为麦克劳林公式：
- $ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots $
- $ \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots $
- $ \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots $
三、多元函数微分
1. 偏导数：
对于函数 $ f(x, y) $，其偏导数为：
- $ \frac{\partial f}{\partial x} $ 表示对 $ x $ 求导，保持 $ y $ 不变。
- $ \frac{\partial f}{\partial y} $ 表示对 $ y $ 求导，保持 $ x $ 不变。
2. 全微分：
$$
df = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy
$$
3. 方向导数：
在单位向量 $ \vec{u} = (u_1, u_2) $ 方向上的方向导数为：
$$
D_{\vec{u}} f = \frac{\partial f}{\partial x} u_1 + \frac{\partial f}{\partial y} u_2
$$
四、线性代数常用公式
1. 矩阵乘法：
设 $ A $ 为 $ m \times n $ 矩阵，$ B $ 为 $ n \times p $ 矩阵，则乘积 $ AB $ 为 $ m \times p $ 矩阵，其中元素为：
$$
(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^n A_{ik} B_{kj}
$$
2. 行列式计算（以 2×2 矩阵为例）：
$$
\det \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = ad - bc
$$
3. 特征值与特征向量：
若 $ A\vec{v} = \lambda \vec{v} $，则 $ \lambda $ 是矩阵 $ A $ 的特征值，$ \vec{v} $ 是对应的特征向量。
五、概率与统计基础公式
1. 期望（均值）：
- 离散型随机变量：$ E(X) = \sum x_i P(x_i) $
- 连续型随机变量：$ E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx $
2. 方差：
$$
Var(X) = E[(X - E(X))^2] = E(X^2) - [E(X)]^2
$$
3. 正态分布概率密度函数：
$$
f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}
$$
六、微分方程简介
1. 一阶线性微分方程：
$$
\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)
$$
解为：
$$
y = \frac{1}{\mu(x)} \left( \int \mu(x) Q(x) dx + C \right)
$$
其中 $ \mu(x) = e^{\int P(x) dx} $ 是积分因子。
2. 二阶常系数齐次微分方程：
$$
ay'' + by' + cy = 0
$$
特征方程为 $ ar^2 + br + c = 0 $，根据判别式不同，解的形式也不同。
结语
高等数学中的公式繁多且复杂，但通过不断练习和理解，可以逐步掌握它们的应用方法。本文仅对部分常见公式进行了简要汇总，希望对正在学习或复习高等数学的同学有所帮助。建议结合教材与习题进行深入学习，才能真正提高数学能力。
