在初中数学的学习中，一元二次方程是一个重要的知识点，它不仅在考试中频繁出现，而且在实际生活中也有广泛的应用。为了帮助同学们更好地掌握这一部分知识，下面提供一些关于一元二次方程的练习题及其详细解答，帮助大家巩固所学内容。
一、选择题
1. 方程 $ x^2 - 5x + 6 = 0 $ 的解是（ ）
A. $ x=2 $ 或 $ x=3 $
B. $ x=1 $ 或 $ x=6 $
C. $ x=-2 $ 或 $ x=-3 $
D. 无实数解
答案：A
解析：将方程因式分解为 $ (x-2)(x-3)=0 $，解得 $ x=2 $ 或 $ x=3 $。
2. 下列哪个方程是一元二次方程？
A. $ 3x + 4 = 0 $
B. $ x^2 + 2x = 5 $
C. $ x^3 - 2x = 0 $
D. $ 2y + 3 = 7 $
答案：B
解析：一元二次方程的标准形式为 $ ax^2 + bx + c = 0 $，其中 $ a \neq 0 $。选项B符合这一条件。
二、填空题
3. 方程 $ x^2 - 4x + 3 = 0 $ 的两个根为 ______ 和 ______。
答案：1，3
解析：因式分解得 $ (x-1)(x-3)=0 $，所以根为1和3。
4. 若方程 $ x^2 + px + q = 0 $ 的两根为 $ x_1 = 2 $、$ x_2 = -3 $，则 $ p = $ ______，$ q = $ ______。
答案：p = 1，q = -6
解析：根据韦达定理，$ p = -(x_1 + x_2) = -(2 - 3) = 1 $，$ q = x_1 \cdot x_2 = 2 \times (-3) = -6 $。
三、解答题
5. 解方程：$ 2x^2 - 5x + 2 = 0 $
解：
使用求根公式：
$$
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
$$
其中 $ a = 2 $，$ b = -5 $，$ c = 2 $。
代入得：
$$
x = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{4} = \frac{5 \pm 3}{4}
$$
所以，$ x = \frac{5 + 3}{4} = 2 $，或 $ x = \frac{5 - 3}{4} = \frac{1}{2} $。
答案： $ x = 2 $ 或 $ x = \frac{1}{2} $
6. 已知方程 $ x^2 + mx + 12 = 0 $ 的一个根为 $ x = 3 $，求另一个根和 $ m $ 的值。
解：
设另一根为 $ x_2 $，由韦达定理可知：
$$
x_1 + x_2 = -m \quad \text{且} \quad x_1 \cdot x_2 = 12
$$
已知 $ x_1 = 3 $，则 $ 3 \cdot x_2 = 12 $，解得 $ x_2 = 4 $。
再代入 $ x_1 + x_2 = -m $，即 $ 3 + 4 = -m $，得 $ m = -7 $。
答案： 另一个根为4，$ m = -7 $
四、应用题
7. 某公园计划修建一个长方形花坛，其面积为 48 平方米，若长比宽多 2 米，求这个花坛的长和宽各是多少？
解：
设宽为 $ x $ 米，则长为 $ x + 2 $ 米。
根据面积公式：
$$
x(x + 2) = 48 \\
x^2 + 2x - 48 = 0
$$
解这个方程：
$$
x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 192}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{196}}{2} = \frac{-2 \pm 14}{2}
$$
解得 $ x = 6 $ 或 $ x = -8 $（舍去负值）。
因此，宽为6米，长为8米。
答案： 宽为6米，长为8米。
通过以上练习题的训练，可以帮助同学们加深对一元二次方程的理解，并提高解题能力。建议在做题时注意步骤的完整性，同时结合图像或实际问题进行理解，有助于提升数学思维能力。
