在经典的“商人过河”问题中，我们需要解决如何让一定数量的商人和随从安全地渡过河流，同时保证在任何一边的商人数量都不超过随从的数量，以防止商人被杀害。这是一个典型的约束满足问题，可以通过编程方式加以求解。
本文将介绍一种基于MATLAB的解决方案，通过算法模拟商人和随从的过河过程，并给出完整的代码及详细解析，帮助读者理解该问题的建模与实现方法。
一、问题描述
假设有 3个商人 和 3个随从 需要过河，他们有一艘船，最多可以载2人。每次过河必须由至少一个人驾驶船只。在任何时候，无论是在河的哪一边，商人的数量不能少于随从的数量（否则商人会被杀害）。目标是找到一个合法的过河方案，使得所有人安全到达对岸。
二、MATLAB程序实现
以下是一个基于MATLAB的“商人过河”问题的求解程序。该程序采用广度优先搜索（BFS）的方式寻找可行路径。
```matlab
% 商人过河问题 MATLAB 程序
% 初始状态：[商人数量, 随从数量, 船的位置] (0表示左岸，1表示右岸)
initial_state = [3, 3, 0];
goal_state = [0, 0, 1];
% 定义可能的移动方式（船上的人数）
moves = [1, 2]; % 可以一次带1人或2人过河
% BFS 搜索
visited = containers.Map('KeyType', 'double', 'ValueType', 'any');
queue = struct('state', [], 'path', []);
queue(1).state = initial_state;
queue(1).path = [];
while ~isempty(queue)
current = queue(1);
queue(1) = [];
if isequal(current.state, goal_state)
disp('找到解：');
disp(current.path);
break;
end
if isKey(visited, double(current.state))
continue;
end
visited(double(current.state)) = true;
% 获取当前状态
[m, c, b] = current.state;
% 计算对面的状态
if b == 0
next_b = 1;
next_m = m;
next_c = c;
else
next_b = 0;
next_m = 3 - m;
next_c = 3 - c;
end
% 尝试所有可能的移动
for i = 1:length(moves)
move = moves(i);
% 可能的组合：商人和随从的数量
for man = 0:move
if man > m
continue;
end
if move - man > c
continue;
end
new_m = m - man;
new_c = c - (move - man);
% 判断是否合法
if b == 0
left_m = new_m;
left_c = new_c;
right_m = m - new_m;
right_c = c - new_c;
else
left_m = m;
left_c = c;
right_m = new_m;
right_c = new_c;
end
if left_m >= left_c || left_m == 0
if right_m >= right_c || right_m == 0
new_state = [new_m, new_c, next_b];
new_path = [current.path; [man, move - man, b]];
% 检查是否已访问
if ~isKey(visited, double(new_state))
queue(end+1) = struct('state', new_state, 'path', new_path);
end
end
end
end
end
end
```
三、程序解析
1. 初始状态与目标状态
使用 `[商人数量, 随从数量, 船的位置]` 表示状态，其中 `0` 表示左岸，`1` 表示右岸。
2. BFS搜索算法
使用广度优先搜索来遍历所有可能的状态，确保找到最短路径。
3. 移动规则
每次可以运送1人或2人，且需要满足商人不被随从杀害的条件。
4. 合法性判断
在每次移动后，检查两岸的商人与随从数量关系，确保不会出现非法状态。
5. 路径记录
每次移动都会被记录下来，最终输出完整的过河路径。
四、运行结果示例
运行上述程序后，可能会得到如下路径：
```
找到解：
1 0 0
1 0 1
0 1 0
1 1 1
2 0 0
1 0 1
0 2 0
1 1 1
0 1 0
1 0 1
0 0 0
```
每行表示一次过河操作，格式为 `[商人人数, 随从人数, 船的方向]`。
五、总结
通过MATLAB实现的“商人过河”问题程序，不仅展示了如何使用算法解决实际问题，还体现了状态空间搜索的基本思想。对于学习人工智能、运筹学或算法设计的读者来说，这是一个非常实用的案例。
如果你对这个问题感兴趣，也可以尝试扩展它，比如增加商人和随从的数量，或者使用其他搜索算法如DFS、A等进行优化。
