【(完整版)高等数学公式手册】在学习和研究高等数学的过程中，掌握并熟练运用各种数学公式是至关重要的。无论是微积分、线性代数、概率统计，还是微分方程与级数等内容，都离不开一系列基本而重要的公式。为了便于查阅与记忆，本文整理了一份较为全面的“高等数学公式手册”，涵盖多个核心领域，旨在为学习者提供一个实用、系统的参考工具。
一、函数与极限
1. 函数的基本性质
- 奇偶性：若 $ f(-x) = f(x) $，则为偶函数；若 $ f(-x) = -f(x) $，则为奇函数。
- 单调性：若 $ x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2) $，则为增函数；反之为减函数。
2. 极限的定义
设函数 $ f(x) $ 在某点 $ x_0 $ 的邻域内有定义，则
$$
\lim_{x \to x_0} f(x) = L
$$
表示当 $ x $ 接近 $ x_0 $ 时，$ f(x) $ 趋于某个确定值 $ L $。
3. 重要极限
- $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $
- $ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1 $
- $ \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e $
二、导数与微分
1. 导数的定义
函数 $ f(x) $ 在点 $ x $ 处的导数为：
$$
f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}
$$
2. 常见导数公式
- $ (x^n)' = nx^{n-1} $
- $ (\sin x)' = \cos x $
- $ (\cos x)' = -\sin x $
- $ (\ln x)' = \frac{1}{x} $
- $ (e^x)' = e^x $
3. 高阶导数
若 $ f''(x) $ 存在，则称为 $ f(x) $ 的二阶导数，依此类推。
4. 微分形式
$ dy = f'(x) dx $
三、积分与不定积分
1. 不定积分定义
若 $ F'(x) = f(x) $，则称 $ F(x) $ 为 $ f(x) $ 的一个原函数，记作：
$$
\int f(x) \, dx = F(x) + C
$$
2. 基本积分公式
- $ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1) $
- $ \int \sin x \, dx = -\cos x + C $
- $ \int \cos x \, dx = \sin x + C $
- $ \int \frac{1}{x} \, dx = \ln |x| + C $
- $ \int e^x \, dx = e^x + C $
3. 换元积分法
设 $ u = g(x) $，则：
$$
\int f(g(x))g'(x) \, dx = \int f(u) \, du
$$
4. 分部积分法
$$
\int u \, dv = uv - \int v \, du
$$
四、微分方程基础
1. 一阶线性微分方程
形式为：
$$
\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)
$$
其通解为：
$$
y = \frac{1}{\mu(x)} \left( \int \mu(x)Q(x) \, dx + C \right)
$$
其中 $ \mu(x) = e^{\int P(x) \, dx} $ 是积分因子。
2. 可分离变量的微分方程
形式为：
$$
\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)
$$
可化为：
$$
\frac{1}{g(y)} dy = f(x) dx
$$
五、级数与泰勒展开
1. 等比数列求和
$$
\sum_{n=0}^{\infty} ar^n = \frac{a}{1 - r}, \quad |r| < 1
$$
2. 泰勒级数展开
函数 $ f(x) $ 在 $ x = a $ 处的泰勒展开为：
$$
f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n
$$
3. 常用泰勒展开式
- $ e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} $
- $ \sin x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} $
- $ \cos x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} $
六、向量与空间解析几何
1. 向量运算
- 向量加法：$ \vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1, a_2 + b_2, a_3 + b_3) $
- 点积：$ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 $
- 叉积：$ \vec{a} \times \vec{b} = (a_2b_3 - a_3b_2, a_3b_1 - a_1b_3, a_1b_2 - a_2b_1) $
2. 直线与平面方程
- 直线方向向量为 $ \vec{v} $，过点 $ P_0 $，参数方程为：
$$
\vec{r} = \vec{P_0} + t\vec{v}
$$
- 平面方程为：
$$
A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0
$$
七、多元函数微积分
1. 偏导数
对于函数 $ f(x, y) $，其对 $ x $ 的偏导数为：
$$
\frac{\partial f}{\partial x} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h, y) - f(x, y)}{h}
$$
2. 全微分
$$
df = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy
$$
3. 二重积分
$$
\iint_D f(x, y) \, dA
$$
结语
本手册涵盖了高等数学中的主要公式与概念，适用于大学阶段的学习与复习。虽然内容较为全面，但实际应用中仍需结合具体题目进行分析与推导。建议读者在理解公式的前提下灵活运用，并通过大量练习加深掌握。
如需进一步了解某一章节或深入探讨某类问题，可继续阅读相关教材或参考资料。希望这份“高等数学公式手册”能成为你学习道路上的得力助手。
