【常用大学数学公式汇总】在大学阶段，数学作为一门基础学科，贯穿于各个专业领域。无论是理工科、经济类还是管理类，数学都是不可或缺的工具。为了帮助同学们更好地掌握和应用数学知识，本文整理了一些在大学课程中频繁出现的数学公式，涵盖微积分、线性代数、概率统计、微分方程等多个方面。
一、微积分部分
1. 导数基本公式
- $ \frac{d}{dx} x^n = n x^{n-1} $
- $ \frac{d}{dx} e^x = e^x $
- $ \frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x} $
- $ \frac{d}{dx} \sin x = \cos x $
- $ \frac{d}{dx} \cos x = -\sin x $
2. 不定积分公式
- $ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $（$ n \neq -1 $）
- $ \int e^x dx = e^x + C $
- $ \int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C $
- $ \int \sin x dx = -\cos x + C $
- $ \int \cos x dx = \sin x + C $
3. 微分法则
- 链式法则：$ \frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x) $
- 乘积法则：$ (uv)' = u'v + uv' $
- 商法则：$ \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} $
4. 泰勒展开与麦克劳林展开
- 泰勒级数：$ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n $
- 麦克劳林级数：$ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n $
二、线性代数部分
1. 矩阵运算
- 矩阵加法：若 $ A = [a_{ij}] $, $ B = [b_{ij}] $，则 $ A + B = [a_{ij} + b_{ij}] $
- 矩阵乘法：若 $ A $ 是 $ m \times n $ 矩阵，$ B $ 是 $ n \times p $ 矩阵，则 $ AB $ 是 $ m \times p $ 矩阵，其中 $ (AB)_{ij} = \sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj} $
- 转置：$ (A^T)_{ij} = A_{ji} $
2. 行列式
- 二阶行列式：$ \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc $
- 三阶行列式：
$$
\begin{vmatrix}
a & b & c \\
d & e & f \\
g & h & i
\end{vmatrix}
= a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
$$
3. 特征值与特征向量
- 若 $ A $ 是一个方阵，满足 $ Ax = \lambda x $，则 $ \lambda $ 称为特征值，$ x $ 称为对应于 $ \lambda $ 的特征向量。
4. 向量点积与叉积
- 点积：$ \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta $
- 叉积：$ \vec{a} \times \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta \cdot \hat{n} $（方向由右手定则确定）
三、概率与统计部分
1. 概率基本公式
- 加法公式：$ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) $
- 乘法公式：$ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A) $
- 条件概率：$ P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} $
2. 期望与方差
- 期望：$ E(X) = \sum x_i P(x_i) $（离散）或 $ E(X) = \int x f(x) dx $（连续）
- 方差：$ Var(X) = E[(X - E(X))^2] = E(X^2) - [E(X)]^2 $
3. 常见分布
- 二项分布：$ P(X = k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} $
- 正态分布：$ X \sim N(\mu, \sigma^2) $，密度函数为 $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $
- 指数分布：$ f(x) = \lambda e^{-\lambda x} $，$ x > 0 $
四、微分方程部分
1. 一阶线性微分方程
- 标准形式：$ \frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x) $
- 解法：使用积分因子 $ \mu(x) = e^{\int P(x) dx} $，通解为：
$$
y = \frac{1}{\mu(x)} \left( \int \mu(x) Q(x) dx + C \right)
$$
2. 常系数齐次微分方程
- 二阶常系数齐次方程：$ ay'' + by' + cy = 0 $
- 特征方程：$ ar^2 + br + c = 0 $
- 根的情况决定通解形式：实根、共轭复根、重根等。
五、其他常用公式
- 三角恒等式
- $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $
- $ \tan^2 x + 1 = \sec^2 x $
- $ \sin(a \pm b) = \sin a \cos b \pm \cos a \sin b $
- $ \cos(a \pm b) = \cos a \cos b \mp \sin a \sin b $
- 对数性质
- $ \log_a (xy) = \log_a x + \log_a y $
- $ \log_a \left( \frac{x}{y} \right) = \log_a x - \log_a y $
- $ \log_a x^n = n \log_a x $
以上是大学数学中一些常用的公式汇总，涵盖了多个重要领域。掌握这些公式不仅有助于应对考试，更能提升解决实际问题的能力。建议在学习过程中结合例题进行练习，以加深理解与记忆。
