【级数练习题(高等数学)】在高等数学的学习过程中，级数是一个非常重要的内容，它不仅在数学理论中占据重要地位，也在物理、工程、经济学等多个领域有着广泛的应用。掌握级数的相关知识，有助于我们理解函数的展开形式、求解微分方程以及进行数值计算等。
本文将围绕级数的基本概念与常见题型，提供一些具有代表性的练习题，并附有详细的解题思路，帮助读者加深对级数的理解与应用能力。
一、级数的基本概念
1. 数列与级数的关系
数列是按一定顺序排列的一组数，而级数则是数列各项的和。例如，数列 $ a_1, a_2, a_3, \ldots $ 对应的级数为：
$$
\sum_{n=1}^{\infty} a_n = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots
$$
2. 收敛与发散
如果部分和序列 $ S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n $ 当 $ n \to \infty $ 时存在极限，则称该级数收敛；否则称为发散。
3. 常见的级数类型
- 等比级数：$ \sum_{n=0}^{\infty} ar^n $
- 调和级数：$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} $
- p-级数：$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} $
- 幂级数：$ \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - a)^n $
二、典型练习题及解析
题目1：判断下列级数是否收敛
$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)}
$$
解题思路：
该级数可以通过拆项法简化：
$$
\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}
$$
因此，级数变为：
$$
\sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right)
$$
这是一个典型的望远镜级数，其部分和为：
$$
S_n = \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right) = 1 - \frac{1}{n+1}
$$
当 $ n \to \infty $ 时，$ S_n \to 1 $，故该级数收敛，且和为 1。
题目2：判断级数 $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^n} $ 的敛散性
解题思路：
使用比值判别法：
$$
\lim_{n \to \infty} \left| \frac{(n+1)! / (n+1)^{n+1}}{n! / n^n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1) \cdot n^n}{(n+1)^{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^n}{(n+1)^n} = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n}{n+1} \right)^n
$$
注意到：
$$
\left( \frac{n}{n+1} \right)^n = \left( 1 - \frac{1}{n+1} \right)^n \approx e^{-1}
$$
因此，极限为 $ \frac{1}{e} < 1 $，根据比值判别法，该级数收敛。
题目3：求幂级数 $ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} $ 的收敛半径与和函数
解题思路：
该级数是著名的泰勒展开式之一，即：
$$
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = e^x
$$
收敛半径：
使用比值法：
$$
\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{1/(n+1)!}{1/n!} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+1} = 0
$$
所以收敛半径为 $ R = \infty $，即在整个实数范围内都收敛。
三、总结
级数是高等数学中的核心内容之一，掌握其基本概念与判别方法对于后续学习至关重要。通过不断练习，可以提高对级数性质的理解与应用能力。希望本文提供的练习题能够帮助大家更好地掌握这一部分内容。
