【两向量垂直公式】在向量几何中，判断两个向量是否垂直是常见的问题。当两个向量的夹角为90度时，它们被称为垂直向量。根据向量的点积性质，可以快速判断两个向量是否垂直。
一、基本概念
向量是具有大小和方向的数学对象，通常用坐标形式表示，如：
$$
\vec{a} = (a_1, a_2), \quad \vec{b} = (b_1, b_2)
$$
在三维空间中，向量可表示为：
$$
\vec{a} = (a_1, a_2, a_3), \quad \vec{b} = (b_1, b_2, b_3)
$$
二、两向量垂直的判定方法
若两个向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 垂直，则它们的点积为零：
$$
\vec{a} \cdot \vec{b} = 0
$$
点积的计算方式如下：
- 二维向量：
$$
\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2
$$
- 三维向量：
$$
\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3
$$
三、两向量垂直公式的总结
| 向量类型 | 公式表达 | 判定条件 |
| 二维向量 | $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2$ | 等于0时垂直 |
| 三维向量 | $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$ | 等于0时垂直 |
四、举例说明
例1（二维）
设 $\vec{a} = (3, 4)$，$\vec{b} = (-4, 3)$
计算点积：
$$
\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \times (-4) + 4 \times 3 = -12 + 12 = 0
$$
因此，$\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 垂直。
例2（三维）
设 $\vec{a} = (1, 2, -3)$，$\vec{b} = (2, -1, 0)$
计算点积：
$$
\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \times 2 + 2 \times (-1) + (-3) \times 0 = 2 - 2 + 0 = 0
$$
因此，$\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 垂直。
五、小结
判断两个向量是否垂直的关键在于它们的点积是否为零。这一结论适用于所有维度的向量，是向量运算中的一个重要性质。掌握这一公式有助于在几何、物理、工程等领域进行更高效的分析与计算。
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