【切线定理公式及证明】在几何学中，切线定理是研究圆与直线关系的重要工具之一。它主要描述了圆的切线与其半径之间的关系，以及在圆外一点作切线时的一些性质。以下是对切线定理的总结、公式及其证明过程。
一、切线定理的基本内容
1. 切线的定义：一条直线与一个圆只有一个公共点时，这条直线称为该圆的切线。
2. 切线的性质：
- 圆的切线垂直于过切点的半径；
- 从圆外一点到圆的两条切线长度相等。
二、切线定理公式
| 定理名称 | 公式表达 | 说明 |
| 切线与半径垂直 | $ l \perp r $ | 若直线 $ l $ 是圆的切线，且切点为 $ P $，则 $ l $ 垂直于半径 $ OP $（$ O $ 为圆心） |
| 切线长定理 | $ PA = PB $ | 若 $ P $ 是圆外一点，$ PA $ 和 $ PB $ 是从 $ P $ 到圆的两条切线，则 $ PA = PB $ |
三、切线定理的证明
1. 切线与半径垂直的证明
已知：
- $ O $ 是圆心，$ l $ 是圆的切线，切点为 $ P $。
求证：
- $ l \perp OP $
证明：
假设 $ l $ 不垂直于 $ OP $，那么可以作一条从 $ O $ 到 $ l $ 的垂线段 $ OH $，其中 $ H $ 是垂足。根据垂线段最短原理，$ OH < OP $。但因为 $ l $ 是切线，所以 $ OP $ 是半径，而 $ OH $ 是从圆心到直线的距离。如果 $ OH < OP $，则直线 $ l $ 与圆有两个交点，这与“切线”只有一个交点的定义矛盾。因此，只有当 $ OH = OP $ 时，即 $ l \perp OP $，才能满足切线的条件。
结论：切线与过切点的半径垂直。
2. 切线长定理的证明
已知：
- $ P $ 是圆外一点，$ PA $ 和 $ PB $ 是从 $ P $ 到圆的两条切线，切点分别为 $ A $ 和 $ B $。
求证：
- $ PA = PB $
证明：
连接 $ OA $、$ OB $、$ OP $。由于 $ PA $ 和 $ PB $ 都是切线，根据前面的定理，有：
$$
PA \perp OA, \quad PB \perp OB
$$
因此，三角形 $ \triangle OAP $ 和 $ \triangle OBP $ 中，都有直角，并且 $ OA = OB $（都是半径），$ OP $ 是公共边。
由直角三角形全等判定定理（HL）可知：
$$
\triangle OAP \cong \triangle OBP
$$
因此，对应边 $ PA = PB $。
结论：从圆外一点作圆的两条切线，其长度相等。
四、总结
切线定理是几何中重要的基础定理之一，尤其在圆的相关问题中应用广泛。通过上述公式和证明，我们可以清晰地理解切线与圆之间的关系，以及如何利用这些定理解决实际问题。掌握这些知识有助于提升几何分析能力，并为更复杂的几何问题打下坚实的基础。
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