【超几何分布的期望和方差】在概率论与数理统计中，超几何分布是一种离散概率分布，用于描述在不放回抽样中成功次数的概率分布。它常用于从有限总体中抽取样本时，计算特定事件发生的概率。本文将对超几何分布的期望与方差进行总结，并通过表格形式直观展示。
一、超几何分布的基本概念
超几何分布适用于以下情境：
- 总体中有 $ N $ 个个体；
- 其中 $ K $ 个是“成功”个体（如合格品）；
- 从中随机抽取 $ n $ 个个体，不放回；
- 设随机变量 $ X $ 表示在这 $ n $ 个样本中“成功”的数量，则 $ X \sim \text{Hypergeometric}(N, K, n) $。
二、超几何分布的期望
超几何分布的期望值反映了在多次试验中，平均能观察到的成功次数。其公式为：
$$
E(X) = n \cdot \frac{K}{N}
$$
这个结果表明，期望值与样本容量 $ n $ 成正比，同时也与总体中成功比例 $ \frac{K}{N} $ 成正比。
三、超几何分布的方差
超几何分布的方差表示随机变量 $ X $ 的波动程度。其公式为：
$$
\text{Var}(X) = n \cdot \frac{K}{N} \cdot \left(1 - \frac{K}{N}\right) \cdot \frac{N - n}{N - 1}
$$
其中，最后一项 $ \frac{N - n}{N - 1} $ 是有限总体校正因子，说明当抽样不放回时，方差会比独立抽样（二项分布）小一些。
四、总结对比表
| 项目 | 公式 | 说明 |
| 期望 | $ E(X) = n \cdot \frac{K}{N} $ | 平均成功次数 |
| 方差 | $ \text{Var}(X) = n \cdot \frac{K}{N} \cdot \left(1 - \frac{K}{N}\right) \cdot \frac{N - n}{N - 1} $ | 反映波动程度，包含有限总体校正因子 |
五、小结
超几何分布在实际应用中非常广泛，尤其是在质量控制、抽样调查等领域。虽然它的期望与二项分布相似，但其方差因不放回抽样的特性而有所不同。理解这些统计量有助于更准确地分析数据并做出合理的推断。
通过本篇文章，我们系统地梳理了超几何分布的期望与方差，并以表格形式进行了清晰的展示，便于读者快速掌握相关知识。
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