【均值滤波公式】在图像处理和信号处理中，均值滤波是一种常见的平滑技术，用于减少图像中的噪声或信号中的随机波动。其核心思想是通过计算邻域内像素值的平均值来替代当前像素值，从而达到平滑效果。以下是对均值滤波公式的总结与说明。
一、均值滤波基本原理
均值滤波是一种线性滤波方法，通常使用一个固定大小的窗口（也称为核或模板）在图像上滑动，对窗口内的所有像素值进行平均计算，然后将该平均值作为中心像素的新值。这种方法能够有效抑制高斯噪声，但可能会导致图像边缘模糊。
二、均值滤波公式
设图像为 $ I(x, y) $，滤波窗口大小为 $ n \times n $，则在位置 $ (x, y) $ 处的均值滤波结果 $ G(x, y) $ 可表示为：
$$
G(x, y) = \frac{1}{n^2} \sum_{i=-k}^{k} \sum_{j=-k}^{k} I(x+i, y+j)
$$
其中，$ k = \frac{n-1}{2} $，表示窗口半径；当 $ n $ 为奇数时，窗口中心正好对应原图像的某个像素点。
三、常见窗口大小及对应的公式示例
| 窗口大小 | 公式表达式 | 说明 |
| 3×3 | $ G(x,y) = \frac{1}{9} [I(x-1,y-1) + I(x-1,y) + I(x-1,y+1) + I(x,y-1) + I(x,y) + I(x,y+1) + I(x+1,y-1) + I(x+1,y) + I(x+1,y+1)] $ | 最常用的窗口大小，适用于多数图像去噪 |
| 5×5 | $ G(x,y) = \frac{1}{25} \sum_{i=-2}^{2} \sum_{j=-2}^{2} I(x+i, y+j) $ | 更大的窗口能更有效地平滑噪声，但可能损失更多细节 |
| 7×7 | $ G(x,y) = \frac{1}{49} \sum_{i=-3}^{3} \sum_{j=-3}^{3} I(x+i, y+j) $ | 适用于噪声较大的图像，但边缘信息更容易被模糊 |
四、优缺点总结
| 优点 | 缺点 |
| 计算简单，易于实现 | 可能导致图像边缘模糊 |
| 对高斯噪声有较好的抑制效果 | 不适合保留细节或锐化图像 |
| 适用于实时处理系统 | 对椒盐噪声效果较差 |
五、应用领域
- 图像去噪
- 信号平滑处理
- 噪声抑制
- 图像预处理阶段
通过合理选择窗口大小和结合其他滤波方法（如中值滤波），可以更好地平衡图像平滑与细节保留之间的关系。
