【证一个有限群的每一个元的阶都有限】在群论中，群的“阶”指的是群中元素的个数，而“元的阶”则是指该元素在群中重复作用后回到单位元所需的最小次数。对于有限群来说，其结构具有一定的限制性，因此我们可以证明：在一个有限群中，每一个元素的阶都是有限的。
一、说明
设 $ G $ 是一个有限群，即 $
$$
a, a^2, a^3, \dots
$$
由于 $ G $ 是有限的，这个序列中必然存在重复的元素。也就是说，存在正整数 $ m > n $，使得：
$$
a^m = a^n
$$
两边同时乘以 $ a^{-n} $ 得到：
$$
a^{m - n} = e
$$
其中 $ e $ 是群的单位元。这说明 $ a $ 的阶是有限的，即存在某个正整数 $ k = m - n $，使得 $ a^k = e $。
因此，在有限群中，每一个元素的阶都是有限的。
二、表格展示关键信息
| 概念 | 定义 | ||
| 群（Group） | 一个集合 $ G $ 配备一个二元运算，满足封闭性、结合律、单位元、逆元。 | ||
| 有限群 | 元素个数有限的群，记作 $ | G | < \infty $。 |
| 元的阶（Order of an element） | 对于 $ a \in G $，最小的正整数 $ k $ 使得 $ a^k = e $，称为 $ a $ 的阶。 | ||
| 单位元（Identity） | 群中的特殊元素 $ e $，满足 $ a e = e a = a $。 | ||
| 证明步骤 | 说明 | ||
| 1 | 设 $ G $ 是有限群，$ a \in G $。 | ||
| 2 | 考虑 $ a, a^2, a^3, \dots $ 这个序列。 | ||
| 3 | 因为 $ G $ 是有限的，所以该序列中必有重复项。 | ||
| 4 | 存在 $ m > n $，使得 $ a^m = a^n $。 | ||
| 5 | 两边乘以 $ a^{-n} $，得 $ a^{m-n} = e $。 | ||
| 6 | 所以 $ a $ 的阶是有限的，即存在正整数 $ k = m - n $。 |
三、结论
通过上述分析可知，在一个有限群中，每个元素的阶都是有限的。这是因为有限群的元素个数有限，导致任何元素的幂次序列必然出现重复，从而可以推出该元素的阶是有限的。
这种性质是有限群的重要特征之一，也是群论研究的基础内容之一。
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