【全微分怎么求例题】在高等数学中，全微分是一个重要的概念，常用于多元函数的近似计算和极值分析。理解全微分的求法对于掌握多元微积分具有重要意义。本文将通过几个典型例题，总结全微分的求法，并以表格形式清晰展示。
一、全微分的基本概念
设函数 $ z = f(x, y) $ 在点 $ (x, y) $ 处可微，则其全微分定义为：
$$
dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy
$$
其中，$ \frac{\partial z}{\partial x} $ 和 $ \frac{\partial z}{\partial y} $ 分别是函数对 $ x $ 和 $ y $ 的偏导数，$ dx $ 和 $ dy $ 是自变量的微小变化量。
二、全微分的求解步骤
1. 求偏导数：分别对 $ x $ 和 $ y $ 求偏导。
2. 代入公式：将偏导数代入全微分公式。
3. 简化表达式（如需要）：根据题目要求进行整理。
三、例题解析
| 题目 | 函数 | 偏导数 | 全微分表达式 |
| 例1 | $ z = x^2 + y^2 $ | $ \frac{\partial z}{\partial x} = 2x $ $ \frac{\partial z}{\partial y} = 2y $ | $ dz = 2x dx + 2y dy $ |
| 例2 | $ z = xy $ | $ \frac{\partial z}{\partial x} = y $ $ \frac{\partial z}{\partial y} = x $ | $ dz = y dx + x dy $ |
| 例3 | $ z = e^{x+y} $ | $ \frac{\partial z}{\partial x} = e^{x+y} $ $ \frac{\partial z}{\partial y} = e^{x+y} $ | $ dz = e^{x+y}(dx + dy) $ |
| 例4 | $ z = \ln(x^2 + y^2) $ | $ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{2x}{x^2 + y^2} $ $ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{2y}{x^2 + y^2} $ | $ dz = \frac{2x}{x^2 + y^2} dx + \frac{2y}{x^2 + y^2} dy $ |
| 例5 | $ z = \sin(xy) $ | $ \frac{\partial z}{\partial x} = y\cos(xy) $ $ \frac{\partial z}{\partial y} = x\cos(xy) $ | $ dz = y\cos(xy) dx + x\cos(xy) dy $ |
四、注意事项
- 全微分仅适用于可微函数，若函数不可微或存在不连续点，则不能使用全微分。
- 在实际应用中，全微分可以用来估算函数在某一点附近的增量。
- 对于隐函数或复合函数，需先利用链式法则求出偏导数后再计算全微分。
五、总结
全微分是多元函数的重要工具，通过求偏导并代入公式即可得到。掌握全微分的求法不仅有助于理解函数的变化趋势，也为后续的极值问题、梯度分析等打下基础。通过上述例题和表格，可以更直观地掌握全微分的计算方法。
