【期望公式和方差公式】在概率论与数理统计中，期望和方差是描述随机变量分布特征的两个重要指标。它们分别反映了随机变量的“平均值”和“波动性”。以下是对常见随机变量的期望和方差公式的总结，便于学习和查阅。
一、期望（Expected Value）
期望是随机变量在大量重复实验中取值的平均趋势，表示随机变量的中心位置。
| 随机变量类型 | 概率质量函数 / 密度函数 | 期望公式 |
| 0-1 分布（伯努利分布） | $ P(X=1) = p, \quad P(X=0) = 1-p $ | $ E(X) = p $ |
| 二项分布 $ B(n, p) $ | $ P(X=k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} $ | $ E(X) = np $ |
| 泊松分布 $ P(\lambda) $ | $ P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} $ | $ E(X) = \lambda $ |
| 均匀分布 $ U(a,b) $ | $ f(x) = \frac{1}{b-a}, \quad a \leq x \leq b $ | $ E(X) = \frac{a + b}{2} $ |
| 正态分布 $ N(\mu, \sigma^2) $ | $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $ | $ E(X) = \mu $ |
| 指数分布 $ Exp(\lambda) $ | $ f(x) = \lambda e^{-\lambda x}, \quad x \geq 0 $ | $ E(X) = \frac{1}{\lambda} $ |
二、方差（Variance）
方差衡量的是随机变量与其期望之间的偏离程度，反映数据的离散程度。
| 随机变量类型 | 概率质量函数 / 密度函数 | 方差公式 |
| 0-1 分布（伯努利分布） | $ P(X=1) = p, \quad P(X=0) = 1-p $ | $ Var(X) = p(1-p) $ |
| 二项分布 $ B(n, p) $ | $ P(X=k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} $ | $ Var(X) = np(1-p) $ |
| 泊松分布 $ P(\lambda) $ | $ P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} $ | $ Var(X) = \lambda $ |
| 均匀分布 $ U(a,b) $ | $ f(x) = \frac{1}{b-a}, \quad a \leq x \leq b $ | $ Var(X) = \frac{(b - a)^2}{12} $ |
| 正态分布 $ N(\mu, \sigma^2) $ | $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $ | $ Var(X) = \sigma^2 $ |
| 指数分布 $ Exp(\lambda) $ | $ f(x) = \lambda e^{-\lambda x}, \quad x \geq 0 $ | $ Var(X) = \frac{1}{\lambda^2} $ |
三、小结
期望和方差是统计学中的基础概念，广泛应用于数据分析、金融建模、工程计算等领域。掌握不同分布的期望和方差公式有助于我们更好地理解数据的性质，并为后续的概率分析打下坚实的基础。
通过上述表格，可以快速查找各类常见分布的期望和方差表达式，提高学习效率和应用能力。
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