【arcsinx求导等于多少】在微积分中，反三角函数的求导是一个重要的知识点。其中，arcsinx（即反正弦函数）的导数是数学学习中的基础内容之一。了解其导数不仅有助于理解反函数的性质，还能为后续的积分和应用问题打下坚实的基础。
一、总结
arcsinx 是正弦函数 y = sinx 在区间 [-π/2, π/2] 上的反函数。它的导数可以通过反函数求导法则进行推导，结果为：
$$
\frac{d}{dx} \arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}
$$
该导数在定义域 $ x \in (-1, 1) $ 内成立，且在边界点 $ x = \pm 1 $ 处不连续。
二、导数公式总结表
| 函数表达式 | 导数表达式 | 定义域 | 说明 |
| $ y = \arcsin x $ | $ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ | $ x \in (-1, 1) $ | 反正弦函数的导数，适用于实数范围内的求导 |
| $ y = \arcsin u $（u为x的函数） | $ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}} \cdot \frac{du}{dx} $ | $ u \in (-1, 1) $ | 使用链式法则进行复合函数求导 |
三、推导过程简要说明
设 $ y = \arcsin x $，则根据反函数的定义，有：
$$
x = \sin y
$$
对两边关于 x 求导：
$$
\frac{dx}{dy} = \cos y
$$
因此，
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}} = \frac{1}{\cos y}
$$
又因为 $ \cos y = \sqrt{1 - \sin^2 y} = \sqrt{1 - x^2} $，所以最终得到：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}
$$
四、注意事项
- 导数只在 $ x \in (-1, 1) $ 区间内有效；
- 在 $ x = \pm 1 $ 处，导数不存在（函数在此处不可导）；
- 若涉及复合函数，如 $ \arcsin(u(x)) $，需使用链式法则进行求导。
通过以上分析，我们可以清晰地掌握 arcsinx 的导数，并能灵活应用于各类数学问题中。
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