【点乘与叉乘原理】在向量运算中，点乘（内积）和叉乘（外积）是两种非常重要的运算方式，广泛应用于物理、工程、计算机图形学等领域。它们分别反映了向量之间的角度关系和方向关系，具有不同的数学定义和几何意义。

一、点乘（内积）

定义：

设向量 a = (a₁, a₂, ..., aₙ) 和 b = (b₁, b₂, ..., bₙ)，则它们的点乘为：

$$

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + \dots + a_nb_n

$$

几何意义：

点乘的结果是一个标量，表示两个向量之间的夹角余弦值与模长的乘积，即：

$$

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{a} \mathbf{b} \cos\theta

$$

其中 θ 是两向量之间的夹角。

特点：

- 点乘结果为标量；

- 满足交换律：$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a}$；

- 若点乘为0，则两向量垂直（正交）。

二、叉乘（外积）

定义：

仅适用于三维空间中的向量 a = (a₁, a₂, a₃) 和 b = (b₁, b₂, b₃)，其叉乘为：

$$

\mathbf{a} \times \mathbf{b} =

\begin{vmatrix}

\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\

a_1 & a_2 & a_3 \\

b_1 & b_2 & b_3 \\

\end{vmatrix}

= (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}

$$

几何意义：

叉乘的结果是一个向量，其方向垂直于原两向量所在的平面，大小等于两向量所形成的平行四边形的面积。

特点：

- 叉乘结果为向量；

- 不满足交换律，而是反对称性：$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = -(\mathbf{b} \times \mathbf{a})$；

- 若两向量共线，则叉乘为零向量。

三、对比总结

通过理解点乘与叉乘的基本原理及其区别，我们可以更有效地应用它们解决实际问题。无论是计算物体间的夹角，还是确定空间中垂直方向，这两种运算都是不可或缺的工具。