【向量乘积公式】在数学和物理中，向量乘积是处理三维空间中矢量关系的重要工具。常见的向量乘积主要有两种形式：点积（内积） 和 叉积（外积）。它们分别用于描述向量之间的角度关系和垂直方向的大小关系。以下是对这两种乘积公式的总结与对比。

一、点积（内积）

定义：两个向量的点积是一个标量，表示为 $ \vec{a} \cdot \vec{b} $。

公式：

$$

\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3

$$

或者用夹角表示为：

$$

\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \vec{b} \cos\theta

$$

其中，$ \theta $ 是两向量之间的夹角。

特点：

- 结果为一个标量；

- 反映两向量的相似程度；

- 当两向量垂直时，点积为零。

二、叉积（外积）

定义：两个向量的叉积是一个向量，表示为 $ \vec{a} \times \vec{b} $。

公式：

$$

\vec{a} \times \vec{b} =

\begin{vmatrix}

\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\

a_1 & a_2 & a_3 \\

b_1 & b_2 & b_3 \\

\end{vmatrix}

= (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}

$$

或写成分量形式：

$$

\vec{a} \times \vec{b} = \left( a_2b_3 - a_3b_2, a_3b_1 - a_1b_3, a_1b_2 - a_2b_1 \right)

$$

模长：

$$

$$

其中，$ \theta $ 是两向量之间的夹角。

特点：

- 结果为一个向量；

- 方向由右手螺旋法则确定；

- 与两向量都垂直；

- 当两向量平行时，叉积为零。

三、点积与叉积的对比

四、小结

向量乘积是理解三维空间中向量关系的关键工具。点积适用于描述向量间的相似性或投影，而叉积则用于求解垂直方向的向量及面积等信息。掌握这两种乘积的公式及其应用，有助于更深入地理解物理和工程中的各种问题。

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