【复合函数定义域】在数学中，复合函数是由两个或多个函数组合而成的新函数。复合函数的定义域是原函数定义域的交集，并且需要满足复合后函数的每一个步骤都有意义。理解复合函数的定义域对于正确使用和分析复合函数至关重要。
一、复合函数的定义
设函数 $ f(x) $ 的定义域为 $ A $，函数 $ g(x) $ 的定义域为 $ B $，则复合函数 $ f(g(x)) $ 的定义域为所有满足以下条件的 $ x $ 值：
1. $ x \in B $（即 $ x $ 在 $ g(x) $ 的定义域内）；
2. $ g(x) \in A $（即 $ g(x) $ 的结果在 $ f(x) $ 的定义域内）。
因此，复合函数 $ f(g(x)) $ 的定义域是集合 $ \{x \in B \mid g(x) \in A\} $。
二、复合函数定义域的求解步骤
| 步骤 | 内容 |
| 1 | 确定外层函数 $ f(x) $ 的定义域 $ A $ |
| 2 | 确定内层函数 $ g(x) $ 的定义域 $ B $ |
| 3 | 解不等式 $ g(x) \in A $，找到满足条件的 $ x $ 值 |
| 4 | 将满足条件的 $ x $ 值与 $ B $ 取交集，得到 $ f(g(x)) $ 的定义域 |
三、典型例题解析
例1：
已知 $ f(x) = \sqrt{x - 1} $，定义域为 $ [1, +\infty) $；
$ g(x) = x^2 - 4 $，定义域为 $ (-\infty, +\infty) $。
求 $ f(g(x)) $ 的定义域。
解：
- 外层函数 $ f(x) $ 的定义域为 $ [1, +\infty) $；
- 内层函数 $ g(x) = x^2 - 4 $，要求 $ g(x) \geq 1 $；
- 即 $ x^2 - 4 \geq 1 $ → $ x^2 \geq 5 $ → $ x \leq -\sqrt{5} $ 或 $ x \geq \sqrt{5} $。
因此，复合函数 $ f(g(x)) $ 的定义域为 $ (-\infty, -\sqrt{5}] \cup [\sqrt{5}, +\infty) $。
例2：
已知 $ f(x) = \frac{1}{x} $，定义域为 $ x \neq 0 $；
$ g(x) = \ln(x) $，定义域为 $ x > 0 $。
求 $ f(g(x)) $ 的定义域。
解：
- 外层函数 $ f(x) $ 的定义域为 $ x \neq 0 $；
- 内层函数 $ g(x) = \ln(x) $，定义域为 $ x > 0 $；
- 要求 $ \ln(x) \neq 0 $ → $ x \neq 1 $。
因此，复合函数 $ f(g(x)) $ 的定义域为 $ (0, 1) \cup (1, +\infty) $。
四、总结表格
| 函数类型 | 定义域要求 | 注意事项 |
| $ f(g(x)) $ | $ x \in D_g $ 且 $ g(x) \in D_f $ | 需要同时满足内外函数的定义域 |
| $ g(f(x)) $ | $ x \in D_f $ 且 $ f(x) \in D_g $ | 复合顺序不同，定义域也不同 |
| 多重复合 | 每一层都要满足对应函数的定义域 | 逐层判断，避免遗漏条件 |
通过以上分析可以看出，复合函数的定义域并不是简单的“两个函数定义域的并集”，而是根据复合顺序和每一步的输入输出关系来确定的。掌握这一规律有助于更准确地处理实际问题中的复合函数应用。
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