【根号x分之一的导数】在微积分的学习中，求函数的导数是一个基本且重要的内容。其中，“根号x分之一”的表达形式在数学中常被用来表示一个函数，其形式为 $ \frac{1}{\sqrt{x}} $。本文将对该函数的导数进行详细分析，并以加表格的形式展示结果。
一、函数解析
函数 $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} $ 可以改写为 $ f(x) = x^{-\frac{1}{2}} $，这样更便于使用幂函数求导法则进行计算。
根据幂函数的求导公式：
$$
\frac{d}{dx} [x^n] = n \cdot x^{n-1}
$$
对 $ x^{-\frac{1}{2}} $ 求导，得到：
$$
f'(x) = -\frac{1}{2} \cdot x^{-\frac{3}{2}} = -\frac{1}{2x^{\frac{3}{2}}}
$$
也可以进一步写成：
$$
f'(x) = -\frac{1}{2x\sqrt{x}}
$$
二、
“根号x分之一”即 $ \frac{1}{\sqrt{x}} $，其导数可以通过将其转化为幂函数形式 $ x^{-\frac{1}{2}} $ 后，应用基本的求导法则得出。最终结果为 $ -\frac{1}{2x^{\frac{3}{2}}} $ 或等价形式 $ -\frac{1}{2x\sqrt{x}} $。该过程体现了幂函数求导的基本思路，也展示了如何将复杂的根式表达转换为更容易处理的指数形式。
三、导数对比表
| 原函数 | 导数 |
| $ \frac{1}{\sqrt{x}} $ | $ -\frac{1}{2x^{\frac{3}{2}}} $ |
| $ x^{-\frac{1}{2}} $ | $ -\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}} $ |
| $ \frac{1}{2x\sqrt{x}} $ | $ -\frac{1}{2x^{\frac{3}{2}}} $ |
通过上述分析与表格展示，可以清晰地理解“根号x分之一”的导数及其不同表达方式之间的关系。这对于掌握幂函数的求导方法具有重要帮助。
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