【主成分分析例题及答案】主成分分析（Principal Component Analysis, PCA）是一种常用的数据降维方法，通过将高维数据转换为低维空间，保留数据中主要的变异信息。以下是一个典型的PCA例题及其解答过程，以加表格的形式展示。
一、例题描述
假设某地区有5个样本点，每个样本点包含3个指标：X₁、X₂、X₃，具体数据如下表所示：
| 样本 | X₁ | X₂ | X₃ |
| 1 | 2 | 4 | 6 |
| 2 | 3 | 5 | 7 |
| 3 | 4 | 6 | 8 |
| 4 | 5 | 7 | 9 |
| 5 | 6 | 8 | 10 |
请对该数据集进行主成分分析，并求出前两个主成分的表达式及对应的方差贡献率。
二、解题步骤总结
1. 标准化数据
首先对原始数据进行标准化处理，使得各变量均值为0，标准差为1。公式为：
$$
Z_{ij} = \frac{X_{ij} - \bar{X}_j}{\sigma_j}
$$
2. 计算协方差矩阵
计算标准化后的数据的协方差矩阵，用于后续特征值分解。
3. 特征值与特征向量分解
对协方差矩阵进行特征值和特征向量的计算，得到主成分方向。
4. 选择主成分
按照特征值大小排序，选取前两个最大的特征值对应的特征向量作为前两个主成分。
5. 计算主成分得分
将原始数据投影到主成分方向上，得到主成分得分。
6. 计算方差贡献率
特征值占总方差的比例即为方差贡献率，用于衡量主成分的重要性。
三、结果表格
| 步骤 | 内容说明 | 结果 |
| 1 | 标准化数据 | 已标准化，均值为0，标准差为1 |
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1
\end{bmatrix}
$$
| 3 | 特征值与特征向量 | 特征值分别为：3, 0, 0；特征向量分别为：[1/√3, 1/√3, 1/√3]，[−1/√2, 1/√2, 0]，[−1/√6, −1/√6, 2/√6] |
| 4 | 主成分选择 | 前两个主成分对应特征值3和0，取前两个特征向量 |
| 5 | 主成分得分 | 第一主成分：$Z_1 + Z_2 + Z_3$；第二主成分：$-Z_1 + Z_2$ |
| 6 | 方差贡献率 | 第一主成分贡献率：100%；第二主成分贡献率：0% |
四、结论
通过对该数据集进行主成分分析，可以发现第一主成分包含了全部的方差信息，而第二主成分没有贡献。这表明原始数据在三个维度上存在高度相关性，可以通过一个主成分来有效表示。
注： 实际应用中，若数据存在多维相关性，主成分分析能够有效降低数据维度并保留主要信息。以上例题为简化版本，实际操作中需考虑更多细节。
