【自由落体三个公式推导】在物理学中，自由落体运动是指物体仅在重力作用下从静止开始下落的运动。由于空气阻力忽略不计，物体的加速度恒为重力加速度 $ g $（约为 $ 9.8 \, \text{m/s}^2 $）。自由落体运动是匀变速直线运动的一种特殊情况，其运动规律可以通过基本的运动学公式进行推导。
一、自由落体运动的基本假设
1. 初始速度为零（即从静止开始下落）；
2. 空气阻力忽略不计；
3. 加速度恒为重力加速度 $ g $。
二、三个基本公式的推导过程
公式一：速度与时间的关系
根据匀变速直线运动的速度公式：
$$
v = v_0 + at
$$
在自由落体中，初始速度 $ v_0 = 0 $，加速度 $ a = g $，因此：
$$
v = gt
$$
说明：物体下落的时间越长，速度越大，与时间成正比。
公式二：位移与时间的关系
根据匀变速直线运动的位移公式：
$$
s = v_0 t + \frac{1}{2}at^2
$$
代入 $ v_0 = 0 $，$ a = g $ 得：
$$
h = \frac{1}{2}gt^2
$$
说明：物体下落的高度与时间的平方成正比。
公式三：速度与位移的关系
根据匀变速直线运动的位移-速度关系公式：
$$
v^2 = v_0^2 + 2as
$$
代入 $ v_0 = 0 $，$ a = g $，$ s = h $ 得：
$$
v^2 = 2gh
$$
说明：物体下落的末速度与其下落高度的平方根成正比。
三、总结表格
| 公式编号 | 公式表达式 | 物理意义 | 适用条件 |
| 1 | $ v = gt $ | 速度随时间线性增加 | 初速度为零，加速度为 $ g $ |
| 2 | $ h = \frac{1}{2}gt^2 $ | 下落高度与时间平方成正比 | 初速度为零，加速度为 $ g $ |
| 3 | $ v^2 = 2gh $ | 速度平方与下落高度成正比 | 初速度为零，加速度为 $ g $ |
四、实际应用举例
例如，一个物体从 $ 10 \, \text{m} $ 高处自由下落，求其落地时的速度和时间。
- 使用公式一：$ v = gt $
- 使用公式二：$ h = \frac{1}{2}gt^2 $
解得：
- 时间 $ t = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \times 10}{9.8}} \approx 1.43 \, \text{s} $
- 速度 $ v = gt = 9.8 \times 1.43 \approx 14.0 \, \text{m/s} $
通过上述推导可以看出，自由落体运动的三个公式不仅简洁明了，而且具有很强的实用性，广泛应用于物理教学和工程计算中。理解这些公式的来源有助于更好地掌握运动学的基本原理。
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