【等差等比数列公式大全】在数学学习中，等差数列和等比数列是基础且重要的内容，广泛应用于数列求和、通项计算、实际问题建模等多个方面。为了便于理解和记忆，以下对等差数列与等比数列的基本公式进行系统总结，并以表格形式清晰展示。
一、等差数列（Arithmetic Sequence）
等差数列是指每一项与前一项的差为常数的数列，这个常数称为公差，记作 $ d $。
常用公式：
| 公式名称 | 公式表达式 | 说明 |
| 第n项公式 | $ a_n = a_1 + (n-1)d $ | $ a_1 $ 为首项，$ d $ 为公差 |
| 前n项和公式 | $ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $ 或 $ S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d] $ | 计算前n项的总和 |
| 中项公式 | 若三个数成等差数列，则中间项为前后两项的平均值：$ b = \frac{a + c}{2} $ | 用于判断或构造等差数列 |
二、等比数列（Geometric Sequence）
等比数列是指每一项与前一项的比为常数的数列，这个常数称为公比，记作 $ r $。
常用公式：
| 公式名称 | 公式表达式 | 说明 | ||
| 第n项公式 | $ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $ | $ a_1 $ 为首项，$ r $ 为公比 | ||
| 前n项和公式 | $ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $（当 $ r \neq 1 $） | 计算前n项的总和 | ||
| 无穷等比数列和 | $ S = \frac{a_1}{1 - r} $（当 $ | r | < 1 $） | 当公比小于1时，无限项之和收敛 |
| 中项公式 | 若三个数成等比数列，则中间项为前后两项的几何平均值：$ b = \sqrt{ac} $ | 用于判断或构造等比数列 |
三、等差与等比数列对比表
| 特征 | 等差数列 | 等比数列 |
| 定义 | 每项与前项的差为定值 | 每项与前项的比为定值 |
| 通项公式 | $ a_n = a_1 + (n-1)d $ | $ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $ |
| 和的公式 | $ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $ | $ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $（$ r \neq 1 $） |
| 中项性质 | 中间项为前后项的算术平均 | 中间项为前后项的几何平均 |
| 应用场景 | 均匀增长、线性变化问题 | 指数增长、复利计算等 |
四、总结
等差数列和等比数列是数列中最常见的两种类型，它们在数学、物理、经济等领域都有广泛应用。掌握其基本公式，不仅有助于解决具体问题，也能提升逻辑思维和数学分析能力。通过表格对比，可以更直观地理解两者的区别与联系，从而更好地应用在实际问题中。
如需进一步了解数列的高级应用或相关题型解析，可继续深入学习数列的综合运用与极限理论等内容。
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