在数学和统计学中，条件概率是一个非常重要的概念。它描述的是在一个事件已经发生的前提下，另一个事件发生的概率。今天，我们来通过一些经典的练习题来加深对条件概率的理解。

练习题1：基础应用

假设有一个袋子，里面装有5个红球和3个蓝球。随机从袋子里取出一个球，已知这个球是红色的，请问再次从袋子里随机取出一个球，这个球也是红色的概率是多少？

解答：

首先，我们知道第一次取出了一个红球后，袋子里剩下4个红球和3个蓝球。因此，在这种条件下，第二次取到红球的概率为：

\[ P(\text{第二次红球 | 第一次红球}) = \frac{\text{剩余红球数}}{\text{总剩余球数}} = \frac{4}{7} \]

练习题2：复杂场景

在一个城市里，有两种天气预报服务A和B。根据历史数据，服务A预测下雨的准确率为80%，而服务B预测下雨的准确率为70%。如果某天两个服务都预测会下雨，那么当天真的会下雨的概率是多少？假设两种服务预测的独立性。

解答：

设事件R表示“下雨”，事件A表示“服务A预测下雨”，事件B表示“服务B预测下雨”。我们需要计算 \( P(R | A \cap B) \)。

根据贝叶斯定理，我们有：

\[ P(R | A \cap B) = \frac{P(A \cap B | R) \cdot P(R)}{P(A \cap B)} \]

假设下雨的概率 \( P(R) = 0.5 \)，则：

\[ P(A \cap B | R) = P(A|R) \cdot P(B|R) = 0.8 \cdot 0.7 = 0.56 \]

而 \( P(A \cap B) \) 可以分解为：

\[ P(A \cap B) = P(A \cap B | R) \cdot P(R) + P(A \cap B | \neg R) \cdot P(\neg R) \]

其中 \( P(A \cap B | \neg R) = (1 - 0.8) \cdot (1 - 0.7) = 0.06 \)，所以：

\[ P(A \cap B) = 0.56 \cdot 0.5 + 0.06 \cdot 0.5 = 0.31 \]

最终，

\[ P(R | A \cap B) = \frac{0.56 \cdot 0.5}{0.31} \approx 0.903 \]

总结

通过以上两个练习题，我们可以看到条件概率在实际问题中的广泛应用。无论是简单的概率计算还是复杂的多因素分析，掌握条件概率的基本原理都是非常必要的。希望这些练习能够帮助你更好地理解这一概念！