在数学和统计学中，正态分布是一种非常重要的概率分布模型。它通常用来描述自然界和社会科学中的许多现象，比如人的身高、测量误差等。正态分布的概率密度函数可以用一个特定的公式来表示。

正态分布的概率密度函数公式为：

\[ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \]

在这个公式中，\( x \) 是随机变量的取值，\( \mu \) 表示正态分布的均值（即分布的中心位置），而 \( \sigma \) 则是标准差，用来衡量数据的离散程度。\( e \) 是自然对数的底，大约等于 2.718。

正态分布的一个重要特性是其图形是一个钟形曲线，对称于均值 \( \mu \)，并且随着标准差 \( \sigma \) 的增大或减小，曲线的宽度也会相应变化。当 \( \sigma \) 较小时，曲线会变得尖锐且集中；而当 \( \sigma \) 较大时，曲线则会变得平坦且分散。

利用这个概率密度函数，我们可以计算出任意区间内随机变量出现的概率。例如，如果想知道某个值落在 \( [a, b] \) 区间内的概率，可以通过积分来实现：

\[ P(a \leq X \leq b) = \int_{a}^{b} f(x) dx \]

尽管这个积分没有闭合形式的解，但可以通过数值方法或者查表得到结果。此外，在实际应用中，我们经常使用标准化的正态分布，即将原始数据转换成均值为 0，标准差为 1 的标准正态分布，这样可以简化计算过程并提高效率。

总之，正态分布因其广泛的适用性和良好的数学性质，在理论研究和实际应用中都占据着极其重要的地位。掌握好正态分布的相关知识对于深入理解概率论与数理统计至关重要。