在数学学习中，集合是一个非常基础且重要的概念。它不仅是理解后续数学知识的重要工具，同时也是培养逻辑思维能力的有效途径。下面我们将通过一系列经典的集合练习题来帮助大家巩固相关知识点，并附上详细的解答过程。

练习题一：基本概念

1. 设A = {1, 2, 3}，B = {3, 4, 5}，求A ∪ B 和 A ∩ B。

解答：

- A ∪ B 表示A和B的并集，即包含所有属于A或B的元素。因此，A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}。

- A ∩ B 表示A和B的交集，即只包含同时属于A和B的元素。因此，A ∩ B = {3}。

2. 如果C = {x | x是偶数，且1 ≤ x ≤ 6}，写出集合C的所有元素。

解答：

根据条件，集合C包含所有满足1 ≤ x ≤ 6且为偶数的整数。因此，C = {2, 4, 6}。

练习题二：子集与幂集

3. 已知D = {a, b, c}，求D的子集数量以及D的幂集。

解答：

- D的子集数量可以通过公式 \(2^n\) 计算，其中n为集合中元素个数。这里n=3，所以D有 \(2^3 = 8\) 个子集。这些子集包括空集∅、{a}、{b}、{c}、{a,b}、{a,c}、{b,c}、{a,b,c}。

- 幂集是指包含所有可能子集的集合，因此D的幂集为 {∅, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}}。

4. 判断以下命题是否正确：如果E ⊆ F，则F一定包含E的所有元素。

解答：

正确。根据子集定义，若E是F的子集，则E中的每个元素都必须也属于F。

练习题三：实际应用

5. 在一次考试中，共有50名学生参加。其中30人喜欢数学，20人喜欢物理，且有10人既喜欢数学又喜欢物理。问：

- 有多少人至少喜欢一门学科？

- 有多少人不喜欢这两门学科？

解答：

- 至少喜欢一门学科的人数可以通过公式 \(|M ∪ P| = |M| + |P| - |M ∩ P|\) 计算，其中M表示喜欢数学的学生集合，P表示喜欢物理的学生集合。因此，至少喜欢一门学科的人数为 \(30 + 20 - 10 = 40\)。

- 不喜欢这两门学科的人数为总人数减去至少喜欢一门学科的人数，即 \(50 - 40 = 10\)。

6. 集合G由小于10的所有质数组成，求G的补集（假设全集为小于10的所有自然数）。

解答：

质数是指只能被1和自身整除的正整数。小于10的质数为{2, 3, 5, 7}。全集为{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}，因此G的补集为{1, 4, 6, 8, 9}。

以上就是一些经典的集合练习题及其解答。希望大家通过这些题目能够更好地掌握集合的相关知识。如果还有疑问，可以进一步探讨！