在数学领域中，向量是一种具有大小和方向的量，它在几何学、物理学以及工程学等多个学科中都有着广泛的应用。而向量的坐标表示法则是将向量放置在一个坐标系中，通过其起点和终点的坐标来描述向量的位置和特性。这种表示方法不仅简化了向量的表达形式，还为向量的运算提供了极大的便利。

首先，我们来定义一个二维空间中的向量。假设向量A的起点为原点(0,0)，终点为点(x1,y1)，那么向量A可以表示为(x1,y1)。同样地，在三维空间中，向量B的起点也为原点(0,0,0)，终点为点(x2,y2,z2)，则向量B可以表示为(x2,y2,z2)。通过这种方式，我们可以用一组有序数组来表示任意位置的向量。

接下来，我们将探讨几种常见的向量坐标运算。首先是向量的加法运算。假设有两个向量A=(x1,y1)和B=(x2,y2)，它们的和C=A+B可以通过将对应分量相加得到，即C=(x1+x2,y1+y2)。类似地，在三维空间中，若存在向量D=(x3,y3,z3)，则D=C+A的结果将是D=(x1+x2+x3,y1+y2+y3)。这种逐元素相加的方式使得向量加法变得直观且易于计算。

其次是向量的数量乘法（标量积）。当一个实数k与向量A=(x1,y1)相乘时，结果是新的向量kA，其中每个分量都乘以该实数，即kA=(kx1,ky1)。这一规则同样适用于三维空间中的向量。例如，如果向量E=(x4,y4,z4)，那么kE=(kx4,ky4,kz4)。

另外值得一提的是向量的点积（内积）运算。给定两个向量A=(x1,y1)和B=(x2,y2)，它们的点积A·B等于x1x2 + y1y2。点积的结果是一个标量值，它可以用来判断两个向量之间的夹角是否为直角（即点积为零时两向量垂直）。对于三维向量而言，公式依然适用：A·B=x1x2+y1y2+z1z2。

最后，让我们看看向量的叉积（外积）运算。在三维空间中，给定两个非平行向量A=(x1,y1,z1)和B=(x2,y2,z2)，它们的叉积A×B也是一个新向量，其分量由以下行列式决定：

| i j k |

| x1y1z1|

| x2y2z2|

展开后得到的结果向量为：

A×B = (y1z2-y2z1)i - (x1z2-x2z1)j + (x1y2-x2y1)k

这里i,j,k分别代表x轴、y轴和z轴上的单位向量。叉积的结果向量垂直于原始两个向量所在的平面，并且它的方向遵循右手定则。

以上便是关于向量坐标运算的一些基本介绍。掌握这些基础知识有助于解决许多实际问题，比如物理中的力的合成与分解、计算机图形学中的物体旋转等。希望本文能帮助读者更好地理解和应用向量坐标运算的相关知识。