在初中数学的学习过程中，二次函数是一个重要的知识点，它不仅出现在教材中，还广泛应用于实际问题解决中。本文将围绕二次函数的一般式与顶点式展开讨论，并提供一些相关的练习题及其答案。

一、二次函数的基本形式

二次函数的标准表达形式为 \( y = ax^2 + bx + c \)，其中 \( a, b, c \) 是常数，且 \( a \neq 0 \)。这种形式被称为一般式。通过一般式，我们可以确定抛物线的开口方向（由 \( a \) 的符号决定）以及对称轴的位置。

另一种常见的表达形式是顶点式，即 \( y = a(x-h)^2 + k \)，其中 \( (h, k) \) 是抛物线的顶点坐标。顶点式直接给出了抛物线的关键信息，便于快速绘制图像或分析性质。

二、从一般式到顶点式的转换

要将一般式转化为顶点式，通常需要完成平方的方法。例如，对于函数 \( y = x^2 - 4x + 3 \)，我们可以通过以下步骤将其转换为顶点式：

1. 提取二次项和一次项部分：\( y = (x^2 - 4x) + 3 \)

2. 完成平方：\( x^2 - 4x \) 可以写成 \( (x-2)^2 - 4 \)

3. 将结果代入原式：\( y = [(x-2)^2 - 4] + 3 = (x-2)^2 - 1 \)

因此，该函数的顶点式为 \( y = (x-2)^2 - 1 \)，顶点坐标为 \( (2, -1) \)。

三、练习题及答案

为了帮助同学们更好地掌握这些知识，下面提供了几道练习题及其解答：

练习题1

已知二次函数的一般式为 \( y = 2x^2 - 8x + 7 \)，请将其转换为顶点式并求出顶点坐标。

解答

\( y = 2(x^2 - 4x) + 7 \)

\( x^2 - 4x \) 可以写成 \( (x-2)^2 - 4 \)

\( y = 2[(x-2)^2 - 4] + 7 = 2(x-2)^2 - 8 + 7 = 2(x-2)^2 - 1 \)

顶点坐标为 \( (2, -1) \)。

练习题2

给定顶点式 \( y = -3(x+1)^2 + 5 \)，写出其一般式。

解答

展开 \( (x+1)^2 \) 得 \( x^2 + 2x + 1 \)

\( y = -3(x^2 + 2x + 1) + 5 \)

\( y = -3x^2 - 6x - 3 + 5 = -3x^2 - 6x + 2 \)

一般式为 \( y = -3x^2 - 6x + 2 \)。

通过以上内容的学习与练习，相信同学们已经能够熟练地处理二次函数的一般式与顶点式之间的相互转化了。希望这些练习能帮助大家巩固所学知识，在考试中取得优异的成绩！