在2023年的陕西省高考数学试卷中，第19题作为一道综合性和逻辑性较强的题目，备受考生和教师的关注。该题不仅考查了学生对基础知识的掌握程度，还注重对数学思维能力和解题技巧的综合运用。本文将从题型分析、解题思路以及常见误区三个方面对该题进行详细解析，帮助考生更好地理解其解题方法与核心考点。
一、题目回顾
题目原文如下（根据回忆整理）：
> 已知函数 $ f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c $ 在区间 $ [0, 2] $ 上有极值点，且满足 $ f(0) = 1 $，$ f(1) = 0 $，$ f(2) = 3 $。
> （1）求实数 $ a $、$ b $、$ c $ 的值；
> （2）设 $ g(x) = f'(x) $，若 $ g(x) $ 在区间 $ [0, 2] $ 上存在零点，求实数 $ a $ 的取值范围。
二、解题思路分析
第（1）问：求参数 $ a $、$ b $、$ c $
本小题属于典型的代数方程组问题，需要利用已知条件建立方程并求解。
- 已知条件：
- $ f(0) = 1 \Rightarrow c = 1 $
- $ f(1) = 0 \Rightarrow 1 + a + b + c = 0 $
- $ f(2) = 3 \Rightarrow 8 + 4a + 2b + c = 3 $
将 $ c = 1 $ 代入后得到两个方程：
1. $ 1 + a + b + 1 = 0 \Rightarrow a + b = -2 $
2. $ 8 + 4a + 2b + 1 = 3 \Rightarrow 4a + 2b = -6 \Rightarrow 2a + b = -3 $
联立这两个方程：
- 由 $ a + b = -2 $ 得 $ b = -2 - a $
- 代入第二个方程得：$ 2a + (-2 - a) = -3 \Rightarrow a - 2 = -3 \Rightarrow a = -1 $
再代入得 $ b = -2 - (-1) = -1 $
因此，最终结果为：
$$
a = -1,\quad b = -1,\quad c = 1
$$
第（2）问：求实数 $ a $ 的取值范围
此问涉及导数的零点问题，即判断函数 $ f'(x) $ 在区间 $ [0, 2] $ 内是否有解。
- 首先，求导得：
$$
f'(x) = 3x^2 + 2ax + b
$$
- 代入已知 $ b = -1 $，得：
$$
f'(x) = 3x^2 + 2ax - 1
$$
要求该二次函数在区间 $ [0, 2] $ 上有零点，即方程 $ 3x^2 + 2ax - 1 = 0 $ 在该区间内有解。
考虑判别式与区间端点处的函数值符号变化：
- 判别式 $ \Delta = (2a)^2 + 12 = 4a^2 + 12 > 0 $，说明一定有两个实根；
- 若两个根都在区间内，则需满足某些条件；
- 或者，只需保证至少有一个根落在 $ [0, 2] $ 内。
更简便的方式是考虑函数在端点处的符号变化：
- 计算 $ f'(0) = -1 $，恒小于0；
- 计算 $ f'(2) = 3 \cdot 4 + 4a - 1 = 12 + 4a - 1 = 11 + 4a $
若 $ f'(2) > 0 $，则函数在区间内必定有一个零点。
所以：
$$
11 + 4a > 0 \Rightarrow a > -\frac{11}{4}
$$
但还需注意，若 $ f'(x) $ 在区间内有两个零点或一个零点，也应满足条件。因此，进一步分析可得：
- 实数 $ a $ 的取值范围为：
$$
a > -\frac{11}{4}
$$
三、常见误区与注意事项
1. 代入错误：在第一问中容易出现代入数据时计算失误，导致参数求错。
2. 导数处理不准确：第二问中导数形式易出错，尤其是系数部分。
3. 忽略判别式的意义：即使判别式大于0，也不能直接得出有解，需结合区间分析。
4. 区间端点判断不清：有些同学会误以为只要判别式大于0就一定有解，而忽略了实际区间的限制。
四、总结
2023年陕西高考数学第19题是一道综合性较强的题目，考察了函数的极值、导数的应用以及方程的求解能力。通过合理的代数运算与函数分析，可以顺利解答。对于考生而言，不仅要熟练掌握基本公式，还要具备良好的逻辑推理能力和灵活的解题策略。
希望本文的解析能够帮助你更深入地理解这道题，并在今后的学习中提升自己的数学素养与解题能力。
