在数学学习中，平面向量是一个重要的知识点，广泛应用于几何、物理和工程等领域。平面向量不仅具有大小，还具有方向，因此在处理空间中的运动、力的合成与分解等问题时，平面向量是不可或缺的工具。本文将系统地整理平面向量的相关公式，帮助读者全面掌握其基本概念与应用方法。
一、向量的基本概念
1. 向量的定义
向量是由一个起点和一个终点所确定的有向线段，通常用箭头表示方向，长度表示大小。向量可以表示为 $\vec{a}$ 或 $ \mathbf{a} $。
2. 向量的表示方式
- 几何表示：如 $\vec{AB}$ 表示从点A到点B的向量。
- 坐标表示：若向量的起点在原点，可表示为 $(x, y)$，其中 $x$ 和 $y$ 是向量的坐标分量。
3. 向量的模（长度）
向量 $\vec{a} = (x, y)$ 的模为：
$$
|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}
$$
二、向量的运算
1. 向量的加法
设 $\vec{a} = (x_1, y_1)$，$\vec{b} = (x_2, y_2)$，则：
$$
\vec{a} + \vec{b} = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)
$$
2. 向量的减法
$$
\vec{a} - \vec{b} = (x_1 - x_2, y_1 - y_2)
$$
3. 向量的数乘
若 $k$ 为实数，则：
$$
k\vec{a} = (kx, ky)
$$
4. 向量的点积（数量积）
点积用于计算两个向量之间的夹角或投影，公式为：
$$
\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2
$$
或者也可以表示为：
$$
\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta
$$
其中 $\theta$ 是两向量之间的夹角。
5. 向量的叉积（向量积）
在二维空间中，叉积一般用于计算面积或判断方向。对于二维向量 $\vec{a} = (x_1, y_1)$，$\vec{b} = (x_2, y_2)$，其叉积的大小为：
$$
|\vec{a} \times \vec{b}| = |x_1y_2 - x_2y_1|
$$
三、向量的性质与应用
1. 共线向量
若两个向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 共线，则存在实数 $k$，使得：
$$
\vec{a} = k\vec{b}
$$
2. 垂直向量
若两个向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 垂直，则它们的点积为零：
$$
\vec{a} \cdot \vec{b} = 0
$$
3. 单位向量
单位向量是指模为1的向量，记作 $\hat{a}$，计算方式为：
$$
\hat{a} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}
$$
4. 向量的投影
向量 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影长度为：
$$
\text{proj}_{\vec{b}} \vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}
$$
四、向量在几何中的应用
1. 两点之间的向量
若点A的坐标为 $(x_1, y_1)$，点B的坐标为 $(x_2, y_2)$，则向量 $\vec{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)$。
2. 中点公式
若点A和点B的坐标分别为 $(x_1, y_1)$ 和 $(x_2, y_2)$，则中点M的坐标为：
$$
M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)
$$
3. 三角形的重心
三角形的三个顶点分别为 $A(x_1, y_1)$、$B(x_2, y_2)$、$C(x_3, y_3)$，则重心G的坐标为：
$$
G = \left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \right)
$$
五、向量的极坐标表示
在极坐标系中，向量可以用长度和角度来表示：
- 长度为 $r$，方向角为 $\theta$，则对应的直角坐标形式为：
$$
\vec{a} = (r\cos\theta, r\sin\theta)
$$
反之，若已知向量的直角坐标 $(x, y)$，则其极坐标形式为：
$$
r = \sqrt{x^2 + y^2}, \quad \theta = \arctan\left(\frac{y}{x}\right)
$$
六、总结
平面向量作为数学中的重要工具，涵盖了加减、数乘、点积、叉积等多种运算方式，广泛应用于几何分析、物理建模和工程计算中。掌握这些公式不仅能提升解题效率，还能加深对向量本质的理解。希望本文能够帮助你系统地复习和巩固平面向量的相关知识，为后续学习打下坚实的基础。
