【2024年高考数学复习培优讲义专题4-切线与公切线(】在高中数学的几何与导数综合应用中，切线与公切线是一个非常重要的知识点。它不仅涉及函数图像的变化趋势，还与导数的几何意义密切相关。掌握这一部分内容，有助于提高解决复杂问题的能力，尤其在高考中常以大题形式出现，是提升分数的关键环节。
一、切线的概念与求法
1. 切线的定义：
在平面几何中，曲线在某一点处的切线是指与该点处的曲线“相切”的直线。从微积分的角度来看，切线是函数在某一点处的瞬时变化率的体现，即该点处的导数值。
2. 切线方程的求法：
设函数 $ y = f(x) $ 在点 $ (x_0, f(x_0)) $ 处可导，则其在该点的切线方程为：
$$
y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)
$$
例题：
已知函数 $ f(x) = x^3 - 3x + 2 $，求其在 $ x = 1 $ 处的切线方程。
解：
首先计算 $ f(1) = 1^3 - 3 \times 1 + 2 = 0 $，再求导数 $ f'(x) = 3x^2 - 3 $，所以 $ f'(1) = 3 \times 1^2 - 3 = 0 $。因此，切线方程为：
$$
y - 0 = 0 \cdot (x - 1) \Rightarrow y = 0
$$
即该点的切线为水平线 $ y = 0 $。
二、公切线的定义与应用
1. 公切线的定义：
如果两条曲线在某一点处有相同的切线，则这条直线称为这两条曲线的公切线。公切线可以出现在不同位置，也可能在不同的点上共用一条切线。
2. 公切线的求法：
若两曲线 $ y = f(x) $ 和 $ y = g(x) $ 存在公切线，则存在某个点 $ x = a $ 使得：
- $ f(a) = g(a) $
- $ f'(a) = g'(a) $
此时，该点处的切线即为两曲线的公切线。
例题：
已知函数 $ f(x) = x^2 $ 和 $ g(x) = ax + b $，若它们有一条公切线，求 $ a $ 和 $ b $ 的关系。
解：
设公切点为 $ x = t $，则：
- $ f(t) = t^2 = g(t) = at + b $
- $ f'(t) = 2t = g'(t) = a $
由第二式得 $ a = 2t $，代入第一式得：
$$
t^2 = 2t \cdot t + b \Rightarrow t^2 = 2t^2 + b \Rightarrow b = -t^2
$$
因此，$ a = 2t $，$ b = -t^2 $，即 $ b = -\left(\frac{a}{2}\right)^2 $，即 $ a^2 + 4b = 0 $。
三、常见题型与解题策略
1. 已知函数和点，求切线方程
- 步骤：求导 → 代入点 → 写出方程
- 注意：避免符号错误，尤其是负号和括号。
2. 已知两条曲线，判断是否存在公切线
- 方法：设公切点，列方程组 → 解出参数或证明无解。
3. 利用切线性质解决最值或极值问题
- 如：在某个区间内，曲线与某直线相切，可能对应最大/最小值点。
四、典型例题解析
题目：
已知函数 $ f(x) = e^x $ 和 $ g(x) = x + 1 $，试判断它们是否具有公切线，并说明理由。
分析：
假设存在公切点 $ x = t $，则需满足：
- $ e^t = t + 1 $
- $ e^t = 1 $
由第二式得 $ e^t = 1 \Rightarrow t = 0 $，代入第一式得 $ e^0 = 0 + 1 \Rightarrow 1 = 1 $，成立。
因此，两函数在 $ x = 0 $ 处有公切线，切线方程为：
$$
y - 1 = 1 \cdot (x - 0) \Rightarrow y = x + 1
$$
五、总结与拓展
切线与公切线问题是高考数学中的高频考点，其核心在于理解导数的几何意义，并能灵活运用方程组来解决问题。建议考生多做相关练习题，熟悉不同类型题目的解题思路，同时注意细节，如符号、定义域等。
下期预告：
我们将继续深入讲解“切线与公切线的综合应用”，包括与不等式、函数极值、图像交点等的结合问题，敬请关注！
