【高等数学2公式大全】在学习高等数学的过程中，尤其是“高等数学2”这门课程，学生常常会遇到大量的公式和定理。这些内容不仅构成了课程的核心，也是解决实际问题的重要工具。为了帮助大家更好地掌握和应用这些知识，本文将系统整理“高等数学2”中常见的公式，便于复习与参考。
一、微分方程
1. 一阶线性微分方程
形式：
$$
\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)
$$
解法：使用积分因子法，通解为：
$$
y = \frac{1}{\mu(x)} \left( \int \mu(x)Q(x) dx + C \right)
$$
其中，$\mu(x) = e^{\int P(x) dx}$。
2. 可分离变量的微分方程
形式：
$$
\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)
$$
解法：分离变量后积分：
$$
\int \frac{1}{g(y)} dy = \int f(x) dx
$$
3. 二阶常系数齐次微分方程
形式：
$$
ay'' + by' + cy = 0
$$
特征方程：
$$
ar^2 + br + c = 0
$$
根据判别式 $\Delta = b^2 - 4ac$，有三种情况：
- $\Delta > 0$：两个实根，通解为 $y = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}$
- $\Delta = 0$：重根，通解为 $y = (C_1 + C_2 x)e^{rx}$
- $\Delta < 0$：共轭复根，通解为 $y = e^{\alpha x}(C_1 \cos\beta x + C_2 \sin\beta x)$
二、多元函数微分学
1. 偏导数定义
对于函数 $z = f(x, y)$，其对 $x$ 的偏导数为：
$$
\frac{\partial z}{\partial x} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h, y) - f(x, y)}{h}
$$
2. 全微分
若函数 $z = f(x, y)$ 可微，则全微分为：
$$
dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy
$$
3. 方向导数
函数 $f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 沿方向向量 $\vec{v} = (a, b)$ 的方向导数为：
$$
D_{\vec{v}} f(x_0, y_0) = \nabla f(x_0, y_0) \cdot \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}
$$
4. 梯度
函数 $f(x, y)$ 的梯度为：
$$
\nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right)
$$
三、重积分
1. 二重积分
在直角坐标系下：
$$
\iint_D f(x, y) dA = \int_a^b \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x, y) dy dx
$$
2. 极坐标下的二重积分
转换关系：
$$
x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta, \quad dA = r dr d\theta
$$
3. 三重积分
在直角坐标系下：
$$
\iiint_V f(x, y, z) dV = \int_a^b \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} \int_{h_1(x,y)}^{h_2(x,y)} f(x, y, z) dz dy dx
$$
四、曲线积分与曲面积分
1. 第一类曲线积分（对弧长）
$$
\int_C f(x, y) ds = \int_a^b f(x(t), y(t)) \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2} dt
$$
2. 第二类曲线积分（对坐标的）
$$
\int_C P dx + Q dy = \int_a^b [P(x(t), y(t)) x'(t) + Q(x(t), y(t)) y'(t)] dt
$$
3. 斯托克斯公式（Stokes' Theorem）
$$
\oint_C \vec{F} \cdot d\vec{r} = \iint_S (\nabla \times \vec{F}) \cdot d\vec{S}
$$
4. 高斯公式（Gauss's Theorem）
$$
\iiint_V (\nabla \cdot \vec{F}) dV = \iint_{\partial V} \vec{F} \cdot d\vec{S}
$$
五、级数
1. 等比数列求和公式
若 $|r| < 1$，则：
$$
\sum_{n=0}^\infty ar^n = \frac{a}{1 - r}
$$
2. 泰勒级数展开
函数 $f(x)$ 在 $x = a$ 处的泰勒展开为：
$$
f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x - a)^n
$$
3. 麦克劳林级数
当 $a = 0$ 时，即为麦克劳林级数：
$$
f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n
$$
六、傅里叶级数
对于周期为 $2L$ 的函数 $f(x)$，其傅里叶级数为：
$$
f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty \left( a_n \cos\frac{n\pi x}{L} + b_n \sin\frac{n\pi x}{L} \right)
$$
其中：
$$
a_n = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \cos\frac{n\pi x}{L} dx, \quad b_n = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \sin\frac{n\pi x}{L} dx
$$
结语
“高等数学2”涵盖的内容广泛且抽象，但只要掌握了基本公式与方法，就能逐步理解并应用这些知识。希望本文提供的公式整理能成为你学习过程中的有力助手。在学习过程中，建议多做练习题，加深对公式的理解和运用能力。
如需进一步了解某个公式的具体推导或应用场景，欢迎继续提问！
