【一元二次方程经典例题集锦有答案】在初中数学中，一元二次方程是一个重要的知识点，它不仅在考试中频繁出现，而且在实际生活中也有广泛的应用。掌握好一元二次方程的解法和常见题型，对于提高数学成绩和解决实际问题都具有重要意义。以下是一些经典的例题及其解答，帮助大家更好地理解和掌握这一部分内容。
一、基础题型
例题1：
解方程：$ x^2 - 5x + 6 = 0 $
解析：
我们可以使用因式分解法来解这个方程：
$$
x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) = 0
$$
因此，解为：
$$
x_1 = 2,\quad x_2 = 3
$$
例题2：
解方程：$ 2x^2 + 4x - 6 = 0 $
解析：
首先可以将方程两边同时除以2，简化为：
$$
x^2 + 2x - 3 = 0
$$
继续因式分解：
$$
(x + 3)(x - 1) = 0
$$
所以解为：
$$
x_1 = -3,\quad x_2 = 1
$$
二、利用求根公式解题
例题3：
解方程：$ 3x^2 - 4x - 1 = 0 $
解析：
使用求根公式：
$$
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
$$
其中 $ a = 3, b = -4, c = -1 $
代入得：
$$
x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1)}}{2 \cdot 3} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 12}}{6} = \frac{4 \pm \sqrt{28}}{6}
$$
进一步化简：
$$
x = \frac{4 \pm 2\sqrt{7}}{6} = \frac{2 \pm \sqrt{7}}{3}
$$
所以解为：
$$
x_1 = \frac{2 + \sqrt{7}}{3},\quad x_2 = \frac{2 - \sqrt{7}}{3}
$$
三、应用题型
例题4：
一个长方形的长比宽多2米，面积是24平方米，求长和宽各是多少？
解析：
设宽为 $ x $ 米，则长为 $ x + 2 $ 米。
根据面积公式：
$$
x(x + 2) = 24
$$
展开并整理：
$$
x^2 + 2x - 24 = 0
$$
解这个方程：
$$
x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 96}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{100}}{2} = \frac{-2 \pm 10}{2}
$$
所以：
$$
x_1 = 4,\quad x_2 = -6
$$
因为长度不能为负数，所以宽为4米，长为6米。
四、综合题型
例题5：
已知方程 $ x^2 + px + q = 0 $ 的两个根为 $ x_1 = 1 $ 和 $ x_2 = -3 $，求 $ p $ 和 $ q $ 的值。
解析：
根据韦达定理：
$$
x_1 + x_2 = -p \Rightarrow 1 + (-3) = -p \Rightarrow -2 = -p \Rightarrow p = 2
$$
$$
x_1 \cdot x_2 = q \Rightarrow 1 \times (-3) = -3 = q
$$
所以 $ p = 2 $，$ q = -3 $
五、拓展与变式
例题6：
若方程 $ x^2 + ax + b = 0 $ 有一个根是 $ 2 $，且两根之和为5，求 $ a $ 和 $ b $ 的值。
解析：
设另一个根为 $ x_2 $，则由题意：
$$
2 + x_2 = 5 \Rightarrow x_2 = 3
$$
根据韦达定理：
$$
a = -(2 + 3) = -5
$$
$$
b = 2 \times 3 = 6
$$
所以 $ a = -5 $，$ b = 6 $
通过以上这些经典例题的练习，可以帮助我们更深入地理解一元二次方程的解法和应用。建议同学们在学习过程中多做题、多总结，逐步提升自己的解题能力和思维能力。希望这份例题集锦能对你的学习有所帮助！
