【正交矩阵有什么性质】正交矩阵是线性代数中非常重要的一个概念，广泛应用于数学、物理、工程和计算机科学等领域。它在保持向量长度不变的同时，还能保持向量之间的夹角不变，因此在变换中具有良好的几何性质。以下是对正交矩阵主要性质的总结。
正交矩阵的基本定义
设 $ A $ 是一个 $ n \times n $ 的实矩阵，若满足：
$$
A^T A = I
$$
其中 $ A^T $ 表示 $ A $ 的转置，$ I $ 是单位矩阵，则称 $ A $ 为正交矩阵。
正交矩阵的主要性质总结
| 序号 | 性质描述 | 说明 | ||||
| 1 | 转置等于逆矩阵 | 对于正交矩阵 $ A $，有 $ A^{-1} = A^T $ | ||||
| 2 | 行列式值为 ±1 | $ \det(A) = \pm 1 $，表示其不改变体积大小 | ||||
| 3 | 列向量（或行向量）是标准正交基 | 每一列（或行）都是单位向量，且两两正交 | ||||
| 4 | 保持向量内积不变 | 对任意两个向量 $ u, v $，有 $ (Au)^T(Av) = u^T v $ | ||||
| 5 | 保持向量长度不变 | 对任意向量 $ v $，有 $ \ | Av\ | = \ | v\ | $ |
| 6 | 特征值的模为 1 | 所有特征值 $ \lambda $ 满足 $ | \lambda | = 1 $ | ||
| 7 | 正交矩阵的乘积仍为正交矩阵 | 若 $ A $ 和 $ B $ 均为正交矩阵，则 $ AB $ 也是正交矩阵 | ||||
| 8 | 正交矩阵的逆矩阵仍是正交矩阵 | 即 $ A^{-1} $ 也是正交矩阵 |
小结
正交矩阵因其独特的性质，在旋转、反射等几何变换中具有重要作用。它的核心特点是：保持向量长度和角度不变，并且转置即为其逆矩阵。这些特性使得正交矩阵在数值计算、信号处理、图像压缩等领域都有广泛应用。
如果你正在学习线性代数，理解正交矩阵的性质将有助于你更深入地掌握矩阵变换的本质。
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