【三维向量的叉乘运算法则】在三维空间中，向量的叉乘（又称向量积）是一种重要的运算方式，广泛应用于物理、工程和计算机图形学等领域。它能够得到一个与原两个向量都垂直的向量，并且其方向由右手定则确定。本文将总结三维向量叉乘的基本运算法则，并通过表格形式进行清晰展示。
一、基本概念
定义：
给定两个三维向量 $\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$ 和 $\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)$，它们的叉乘 $\vec{a} \times \vec{b}$ 是一个向量，其计算公式如下：
$$
\vec{a} \times \vec{b} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3 \\
\end{vmatrix}
= (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}
$$
二、叉乘的性质总结
| 属性 | 描述 | ||||||
| 结果向量的方向 | 垂直于 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 所在的平面，方向由右手定则决定 | ||||||
| 结果向量的模长 | $ | \vec{a} \times \vec{b} | = | \vec{a} | \vec{b} | \sin\theta$，其中 $\theta$ 为两向量夹角 | |
| 交换律 | 不满足，即 $\vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a})$ | ||||||
| 分配律 | 满足，即 $\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}$ | ||||||
| 与标量乘法结合 | $(k\vec{a}) \times \vec{b} = k(\vec{a} \times \vec{b})$ | ||||||
| 零向量情况 | 若 $\vec{a}$ 或 $\vec{b}$ 为零向量，则 $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{0}$ | ||||||
| 正交性 | $\vec{a} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) = 0$，$\vec{b} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) = 0$ |
三、计算步骤详解
1. 写出两个向量的分量：
$\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$，$\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)$
2. 构建行列式：
$$
\vec{a} \times \vec{b} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3 \\
\end{vmatrix}
$$
3. 展开行列式：
$$
\vec{a} \times \vec{b} =
(a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}
$$
4. 整理结果：
得到一个新向量 $\vec{c} = (c_1, c_2, c_3)$，其中：
- $c_1 = a_2b_3 - a_3b_2$
- $c_2 = a_3b_1 - a_1b_3$
- $c_3 = a_1b_2 - a_2b_1$
四、应用举例
设 $\vec{a} = (1, 2, 3)$，$\vec{b} = (4, 5, 6)$，则：
$$
\vec{a} \times \vec{b} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
\end{vmatrix}
= (2×6 - 3×5)\mathbf{i} - (1×6 - 3×4)\mathbf{j} + (1×5 - 2×4)\mathbf{k}
= (-3)\mathbf{i} + 6\mathbf{j} - 3\mathbf{k}
$$
所以，$\vec{a} \times \vec{b} = (-3, 6, -3)$
五、注意事项
- 叉乘仅适用于三维向量；
- 结果是一个向量，而不是标量；
- 在计算过程中需注意符号的变化，尤其是中间项的负号；
- 可用于求解平面法向量、力矩、旋转轴等实际问题。
通过以上总结，我们可以更清晰地掌握三维向量叉乘的运算法则及其应用方法。
以上就是【三维向量的叉乘运算法则】相关内容，希望对您有所帮助。
