【等比数列通项公式是】在数学中，等比数列是一种重要的数列形式，其特点是每一项与前一项的比值恒定。这个恒定的比值称为“公比”，通常用字母 $ q $ 表示。等比数列的通项公式是用于快速求出数列中任意一项的数学表达式。
一、等比数列的基本概念
- 定义：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的比都等于同一个常数 $ q $，则称该数列为等比数列。
- 公比 $ q $：即相邻两项的商，$ q = \frac{a_n}{a_{n-1}} $。
- 首项 $ a_1 $：数列的第一项。
二、等比数列通项公式
等比数列的第 $ n $ 项可以用以下公式表示：
$$
a_n = a_1 \cdot q^{n-1}
$$
其中：
- $ a_n $ 是第 $ n $ 项；
- $ a_1 $ 是首项；
- $ q $ 是公比；
- $ n $ 是项数（正整数）。
三、公式应用举例
| 项数 $ n $ | 首项 $ a_1 $ | 公比 $ q $ | 第 $ n $ 项 $ a_n $ | 计算过程 |
| 1 | 3 | 2 | 3 | $ 3 \times 2^{0} = 3 $ |
| 2 | 3 | 2 | 6 | $ 3 \times 2^{1} = 6 $ |
| 3 | 3 | 2 | 12 | $ 3 \times 2^{2} = 12 $ |
| 4 | 3 | 2 | 24 | $ 3 \times 2^{3} = 24 $ |
| 5 | 3 | 2 | 48 | $ 3 \times 2^{4} = 48 $ |
四、通项公式的使用场景
- 已知首项和公比，可直接求出任意项。
- 在实际问题中，如银行利息计算、人口增长预测等，可以用来建模和预测。
五、总结
等比数列的通项公式是：
$$
a_n = a_1 \cdot q^{n-1}
$$
它是研究等比数列性质和解决问题的重要工具。掌握这一公式，有助于更高效地分析和解决相关数学问题。
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