【点与线的距离公式】在几何学中，点与线的距离是一个重要的概念，广泛应用于数学、物理、工程等领域。理解并掌握点到直线的距离公式，有助于解决实际问题，如最短路径计算、空间定位等。

一、点与线距离的定义

点与线的距离是指从该点出发，垂直于这条直线的最短距离。这个距离是唯一的，且始终为非负数。

二、点到直线的距离公式

设直线 $ L $ 的一般方程为：

$$

Ax + By + C = 0

$$

点 $ P(x_0, y_0) $ 到直线 $ L $ 的距离 $ d $ 公式为：

$$

d = \frac{Ax_0 + By_0 + C}{\sqrt{A^2 + B^2}}

$$

其中：

- $ A $、$ B $、$ C $ 是直线的一般方程中的系数；

- $ x_0 $、$ y_0 $ 是点的坐标；

- 分母表示直线方向向量的模长，确保距离为正数。

三、特殊情况

当直线以其他形式给出时，可以先将其转换为标准形式再应用公式。例如：

1. 斜截式：$ y = kx + b $

转换为一般式：$ kx - y + b = 0 $，即 $ A = k, B = -1, C = b $

2. 两点式：已知直线上两点 $ (x_1, y_1) $ 和 $ (x_2, y_2) $

可用两点求出斜率 $ k $，再通过点斜式或一般式来代入公式。

四、总结与对比

五、实际应用举例

假设点 $ P(3, 4) $，直线 $ L: 2x - 3y + 5 = 0 $，则点到直线的距离为：

$$

d = \frac{2 \cdot 3 - 3 \cdot 4 + 5}{\sqrt{2^2 + (-3)^2}} = \frac{6 - 12 + 5}{\sqrt{4 + 9}} = \frac{1}{\sqrt{13}} \approx 0.277

$$

六、注意事项

- 公式适用于二维平面；

- 若点在直线上，则距离为零；

- 不同形式的直线需统一为一般式后再计算。

通过以上内容，我们可以清晰地了解点与线之间的距离公式及其应用方法。掌握这一知识点，有助于提升对几何问题的理解和解决能力。

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