【二次函数的求根公式与顶点坐标】在数学中，二次函数是一个非常重要的函数类型，广泛应用于物理、工程和经济学等领域。它的一般形式为 $ y = ax^2 + bx + c $（其中 $ a \neq 0 $）。对于这类函数，我们通常需要了解它的根以及顶点坐标，以便更好地分析其图像和性质。
一、二次函数的求根公式
二次函数的根是使得函数值为零的自变量 $ x $ 值，也称为方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 的解。求解该方程的方法是使用求根公式，也称作求根公式法或判别式法。
求根公式：
$$
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
$$
- 判别式：$ D = b^2 - 4ac $
- 当 $ D > 0 $ 时，方程有两个不相等的实数根；
- 当 $ D = 0 $ 时，方程有一个实数根（重根）；
- 当 $ D < 0 $ 时，方程没有实数根，但有两个共轭复数根。
二、二次函数的顶点坐标
二次函数的图像是一个抛物线，而顶点是这个抛物线的最高点或最低点，取决于开口方向。
顶点坐标的公式：
$$
\left( -\frac{b}{2a}, f\left(-\frac{b}{2a}\right) \right)
$$
其中：
- $ x = -\frac{b}{2a} $ 是顶点的横坐标；
- 将该值代入原函数，即可得到纵坐标 $ y $。
三、总结对比表
| 项目 | 公式 | 说明 |
| 二次函数一般形式 | $ y = ax^2 + bx + c $ | $ a \neq 0 $ |
| 求根公式 | $ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $ | 解方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $ |
| 判别式 | $ D = b^2 - 4ac $ | 判断根的性质 |
| 顶点横坐标 | $ x = -\frac{b}{2a} $ | 抛物线对称轴的位置 |
| 顶点纵坐标 | $ y = f\left(-\frac{b}{2a}\right) $ | 顶点的纵坐标 |
| 开口方向 | 若 $ a > 0 $，开口向上；若 $ a < 0 $，开口向下 | 决定顶点是最高点还是最低点 |
四、实际应用示例
假设我们有二次函数 $ y = 2x^2 - 4x - 6 $，我们可以用上述公式来求其根和顶点。
- 求根：
$$
x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6)}}{2 \cdot 2} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 48}}{4} = \frac{4 \pm \sqrt{64}}{4} = \frac{4 \pm 8}{4}
$$
所以，$ x_1 = 3 $，$ x_2 = -1 $
- 顶点坐标：
$$
x = -\frac{-4}{2 \cdot 2} = 1
$$
代入原函数得：
$$
y = 2(1)^2 - 4(1) - 6 = 2 - 4 - 6 = -8
$$
所以顶点为 $ (1, -8) $
五、小结
二次函数的求根公式和顶点坐标是理解其图像和性质的关键工具。掌握这些公式不仅有助于解决代数问题，还能在实际问题中提供重要的分析依据。通过结合代数计算和几何意义，可以更全面地理解二次函数的行为特征。
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