【二项分布是什么】二项分布是概率论与数理统计中的一种重要离散型概率分布，用于描述在固定次数的独立试验中，某事件恰好发生k次的概率。它广泛应用于各种实际问题中，如抛硬币、产品质量检测等。
一、二项分布的基本概念
二项分布是一种基于伯努利试验的模型。每次试验只有两种可能的结果：成功或失败。设每次试验成功的概率为p，失败的概率为1-p。在n次独立重复试验中，事件恰好发生k次的概率服从二项分布。
二、二项分布的定义
设随机变量X表示在n次独立试验中事件发生的次数，则X服从参数为n和p的二项分布，记作：
$$
X \sim B(n, p)
$$
其概率质量函数（PMF）为：
$$
P(X = k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k}
$$
其中，$C_n^k = \frac{n!}{k!(n - k)!}$ 是组合数。
三、二项分布的性质
| 属性 | 内容 |
| 试验次数 | 固定为n次 |
| 每次试验结果 | 只有两种：成功或失败 |
| 成功概率 | 每次试验的成功概率为p，且保持不变 |
| 独立性 | 各次试验相互独立 |
| 随机变量取值 | X的可能取值为0, 1, 2, ..., n |
四、二项分布的应用场景
| 应用场景 | 说明 |
| 抽样检验 | 如从一批产品中抽取样本，判断合格品数量 |
| 投掷硬币 | 计算正面出现k次的概率 |
| 医学研究 | 如药物有效率的统计分析 |
| 质量控制 | 分析产品缺陷率 |
五、二项分布与正态分布的关系
当n较大、p不接近0或1时，二项分布可以用正态分布进行近似。此时，均值为 $ \mu = np $，方差为 $ \sigma^2 = np(1-p) $。
六、总结
二项分布是一种描述固定次数独立试验中成功次数的概率分布模型。它具有明确的数学表达式，并广泛应用于多个领域。理解二项分布有助于我们更好地分析和预测实际问题中的随机现象。
| 项目 | 内容 |
| 定义 | 描述n次独立试验中成功k次的概率 |
| 公式 | $ P(X=k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} $ |
| 参数 | n（试验次数），p（成功概率） |
| 适用条件 | 试验独立、结果互斥、概率不变 |
| 常见应用 | 抽样、医学、质量控制等 |
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