【极限函数lim重要公式】在数学分析中，极限（Limit）是研究函数行为的重要工具，尤其是在微积分、高等数学和工程数学中有着广泛应用。掌握一些常见的极限公式，有助于我们快速求解复杂函数的极限问题。以下是对常见“极限函数 lim 重要公式”的总结与归纳。
一、基本极限公式
| 公式 | 表达式 | 说明 |
| 1 | $\lim_{x \to a} c = c$ | 常数的极限为其本身 |
| 2 | $\lim_{x \to a} x = a$ | 自变量的极限为该点值 |
| 3 | $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ | 常见三角函数极限 |
| 4 | $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$ | 指数函数的极限 |
| 5 | $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1$ | 对数函数的极限 |
| 6 | $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$ | 数学常数 $e$ 的定义 |
| 7 | $\lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x} = \ln a$ | 指数函数的一般形式 |
| 8 | $\lim_{x \to 0} \frac{(1+x)^k - 1}{x} = k$ | 二项展开的极限形式 |
二、无穷小量与无穷大量
| 类型 | 极限表达式 | 说明 |
| 无穷小量 | $\lim_{x \to 0} x^n = 0$ (n > 0) | 高阶无穷小趋于零 |
| 无穷大量 | $\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty$ | 正向趋近于零时趋于正无穷 |
| 无穷小与无穷大的乘积 | $\lim_{x \to 0} x \cdot \frac{1}{x} = 1$ | 可能存在有限极限 |
三、洛必达法则（L’Hospital Rule）
适用于形如 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 的不定型极限。
适用条件：
- 函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在某点 $a$ 处可导；
- $\lim_{x \to a} f(x) = 0$ 且 $\lim_{x \to a} g(x) = 0$；
- $\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ 存在或为无穷。
公式：
$$
\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}
$$
四、常用等价无穷小替换
| 当 $x \to 0$ 时 | 等价替换 |
| $\sin x$ ~ $x$ | 三角函数近似 |
| $\tan x$ ~ $x$ | 三角函数近似 |
| $\ln(1+x)$ ~ $x$ | 对数函数近似 |
| $e^x - 1$ ~ $x$ | 指数函数近似 |
| $1 - \cos x$ ~ $\frac{x^2}{2}$ | 余弦函数近似 |
五、极限的四则运算法则
设 $\lim_{x \to a} f(x) = A$，$\lim_{x \to a} g(x) = B$，则：
| 运算 | 公式 | 说明 |
| 加法 | $\lim_{x \to a} [f(x) + g(x)] = A + B$ | 极限可加 |
| 减法 | $\lim_{x \to a} [f(x) - g(x)] = A - B$ | 极限可减 |
| 乘法 | $\lim_{x \to a} [f(x) \cdot g(x)] = A \cdot B$ | 极限可乘 |
| 除法 | $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A}{B}$ （$B \ne 0$） | 极限可除 |
六、极限的左右极限
若 $\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = L$，则 $\lim_{x \to a} f(x) = L$。
否则，极限不存在。
总结
极限是数学分析的核心概念之一，掌握其基本公式和运算规则，对于理解函数的连续性、导数、积分等后续内容至关重要。通过合理运用等价无穷小、洛必达法则以及极限的四则运算法则，可以高效地解决大多数极限问题。在实际应用中，还需结合具体函数的性质进行灵活处理。
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