【菲涅尔公式的推导过程】在光学中，菲涅尔公式是描述光波在两种不同介质界面处反射和折射时，电场分量与入射、反射、折射光波之间关系的重要理论工具。其推导基于麦克斯韦方程组，并结合边界条件进行分析。以下是菲涅尔公式的推导过程的总结。
一、基本假设与模型
1. 平面电磁波：假设入射光为平面波，具有均匀的振幅和相位。
2. 理想介质：两种介质均为线性、各向同性、无损耗的理想介质。
3. 垂直入射或斜入射：根据入射角的不同，可分别推导出平行极化（p偏振）和垂直极化（s偏振）情况下的反射与透射系数。
二、边界条件
在两种介质交界面上，电场和磁场必须满足以下边界条件：
- 电场切向分量连续：
$$
E_{1t} = E_{2t}
$$
- 磁场切向分量连续：
$$
H_{1t} = H_{2t}
$$
其中，下标“1”表示入射侧，“2”表示透射侧。
三、推导步骤
| 步骤 | 内容 |
| 1 | 假设入射波为平面波，形式为 $ E_i = E_0 e^{i(k \cdot r - \omega t)} $ |
| 2 | 反射波和折射波也按相同形式表示，但方向不同 |
| 3 | 利用边界条件，将入射、反射、折射波的电场分量代入边界条件中 |
| 4 | 根据波矢量的方向关系，建立反射角与折射角的关系（斯涅尔定律） |
| 5 | 通过解方程，得到反射系数 $ r $ 和透射系数 $ t $ 的表达式 |
四、菲涅尔公式的形式
根据偏振方向的不同，菲涅尔公式分为两种形式：
1. s偏振（垂直极化）
$$
r_s = \frac{n_1 \cos\theta_i - n_2 \cos\theta_t}{n_1 \cos\theta_i + n_2 \cos\theta_t}
$$
$$
t_s = \frac{2n_1 \cos\theta_i}{n_1 \cos\theta_i + n_2 \cos\theta_t}
$$
2. p偏振（平行极化）
$$
r_p = \frac{n_2 \cos\theta_i - n_1 \cos\theta_t}{n_2 \cos\theta_i + n_1 \cos\theta_t}
$$
$$
t_p = \frac{2n_1 \cos\theta_i}{n_2 \cos\theta_i + n_1 \cos\theta_t}
$$
其中：
- $ n_1, n_2 $ 为两种介质的折射率；
- $ \theta_i $ 为入射角；
- $ \theta_t $ 为折射角，由斯涅尔定律确定：$ n_1 \sin\theta_i = n_2 \sin\theta_t $
五、总结表格
| 项目 | 内容 |
| 公式名称 | 菲涅尔公式 |
| 应用领域 | 光学、电磁波传播、薄膜干涉等 |
| 推导基础 | 麦克斯韦方程组、边界条件 |
| 两种偏振 | s偏振（垂直极化）、p偏振（平行极化） |
| 反射系数 | $ r_s, r_p $ |
| 透射系数 | $ t_s, t_p $ |
| 关键参数 | 折射率 $ n_1, n_2 $、入射角 $ \theta_i $、折射角 $ \theta_t $ |
| 适用条件 | 平面波、理想介质、无损耗介质 |
通过上述推导过程，我们可以清晰地理解菲涅尔公式如何从物理原理出发，逐步推导出描述光波在界面处行为的数学表达式。该公式在现代光学和工程中具有广泛的应用价值。
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