【分式的导数公式是什么】在微积分中，求分式的导数是常见的问题之一。分式函数通常形式为两个函数的比值，即 $ y = \frac{u(x)}{v(x)} $，其中 $ u(x) $ 和 $ v(x) $ 都是关于 $ x $ 的可导函数。为了方便计算，我们总结了分式的导数公式，并通过表格形式进行清晰展示。
一、分式的导数公式
对于函数 $ y = \frac{u(x)}{v(x)} $，其导数 $ y' $ 可以使用商法则来求解：
$$
y' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}
$$
这个公式是分式求导的基本工具，适用于大多数分式函数的求导过程。
二、常见分式函数的导数示例
| 函数形式 | 导数公式 | 说明 |
| $ y = \frac{c}{x} $（c为常数） | $ y' = -\frac{c}{x^2} $ | 常数除以变量的导数 |
| $ y = \frac{x}{a} $（a为常数） | $ y' = \frac{1}{a} $ | 变量除以常数的导数 |
| $ y = \frac{1}{x} $ | $ y' = -\frac{1}{x^2} $ | 基本分式导数 |
| $ y = \frac{ax + b}{cx + d} $ | $ y' = \frac{a(cx + d) - (ax + b)c}{(cx + d)^2} = \frac{ad - bc}{(cx + d)^2} $ | 线性分式函数的导数 |
| $ y = \frac{\sin x}{\cos x} $ | $ y' = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x $ | 正切函数的导数 |
| $ y = \frac{e^x}{x} $ | $ y' = \frac{e^x \cdot x - e^x \cdot 1}{x^2} = \frac{e^x(x - 1)}{x^2} $ | 指数与变量的分式导数 |
三、使用商法则的注意事项
1. 分母不能为零：在计算过程中，要确保分母 $ v(x) \neq 0 $，否则函数无定义。
2. 分子和分母都要可导：只有当 $ u(x) $ 和 $ v(x) $ 都可导时，才能使用商法则。
3. 注意符号变化：在展开分子部分时，要注意减号的正确应用，避免出现符号错误。
四、总结
分式的导数可以通过商法则来求解，其核心公式为：
$$
y' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}
$$
通过掌握这一基本公式，并结合具体函数的形式，可以高效地解决大部分分式求导的问题。同时，熟练运用一些常见分式函数的导数公式，也能提升计算效率和准确性。
如需进一步了解其他类型函数的导数公式，欢迎继续阅读相关文章。
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