【高中解三角形公式】在高中数学中，解三角形是重要的内容之一，涉及三角形的边、角以及面积等的计算与应用。常见的解三角形问题包括已知两边及其夹角求第三边（余弦定理）、已知两角及一边求其他边（正弦定理）等。以下是对高中阶段常用解三角形公式的总结，便于学生复习和应用。
一、基本概念
- 三角形的基本元素：三边 $a, b, c$，三个角 $A, B, C$。
- 三角形内角和：$A + B + C = 180^\circ$。
- 三角形的面积公式：
$$
S = \frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2}ac\sin B
$$
二、常用公式总结
| 公式名称 | 公式表达式 | 应用场景 |
| 正弦定理 | $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$ | 已知两角及一边或两边及对角 |
| 余弦定理 | $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$ $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B$ $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$ | 已知两边及其夹角或三边求角 |
| 面积公式 | $S = \frac{1}{2}ab\sin C$ | 已知两边及夹角求面积 |
| 海伦公式 | $S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$，其中 $s = \frac{a+b+c}{2}$ | 已知三边求面积 |
| 三角形的外接圆半径 | $R = \frac{a}{2\sin A} = \frac{b}{2\sin B} = \frac{c}{2\sin C}$ | 求三角形外接圆半径 |
三、典型例题解析
例题1：已知三角形的两边分别为 $a=5$，$b=7$，夹角 $C=60^\circ$，求第三边 $c$ 的长度。
解：使用余弦定理：
$$
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C = 5^2 + 7^2 - 2 \times 5 \times 7 \times \cos 60^\circ
$$
$$
c^2 = 25 + 49 - 70 \times 0.5 = 74 - 35 = 39
$$
$$
c = \sqrt{39}
$$
例题2：已知三角形中，$A=30^\circ$，$B=45^\circ$，边 $a=10$，求边 $b$ 和 $c$ 的长度。
解：首先求角 $C = 180^\circ - 30^\circ - 45^\circ = 105^\circ$，再使用正弦定理：
$$
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \Rightarrow \frac{10}{\sin 30^\circ} = \frac{b}{\sin 45^\circ}
$$
$$
\frac{10}{0.5} = \frac{b}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \Rightarrow 20 = \frac{b}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \Rightarrow b = 20 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 10\sqrt{2}
$$
同理可求出 $c$。
四、注意事项
1. 使用正弦定理时，注意“大边对大角”的原则。
2. 余弦定理适用于任意三角形，尤其是已知两边及其夹角的情况。
3. 海伦公式适合已知三边求面积，但计算较复杂。
4. 注意单位统一，角度一般使用度数（°）或弧度（rad），视题目而定。
通过以上公式的整理与应用，可以系统地掌握高中阶段解三角形的核心知识点，为后续学习三角函数、向量、立体几何等内容打下坚实基础。
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