在数学学习中，配方法是一种非常重要的解题技巧，尤其在解决二次方程问题时显得尤为关键。配方法的核心在于将一个复杂的表达式通过一定的变形，使其成为一个完全平方的形式，从而简化计算和求解的过程。本文将通过几个具体的练习题来详细展示配方法的应用步骤及其过程。
练习题一：完成平方公式
题目：将表达式 $x^2 + 6x$ 配成完全平方形式。
解题过程：
1. 确认表达式的前两项为 $x^2 + 6x$。
2. 将中间项 $6x$ 的系数 $6$ 除以 $2$，得到 $3$。
3. 将 $3$ 平方，得到 $9$。
4. 在原表达式后添加并减去 $9$，即 $x^2 + 6x + 9 - 9$。
5. 前三项构成完全平方 $(x+3)^2$，因此原表达式可写为：
$$
x^2 + 6x = (x+3)^2 - 9
$$
练习题二：解决二次方程
题目：解方程 $x^2 - 8x + 10 = 0$。
解题过程：
1. 将常数项 $10$ 移到等号右侧：
$$
x^2 - 8x = -10
$$
2. 将中间项 $-8x$ 的系数 $-8$ 除以 $2$，得到 $-4$。
3. 将 $-4$ 平方，得到 $16$。
4. 在等式两边同时加上 $16$：
$$
x^2 - 8x + 16 = -10 + 16
$$
5. 左边构成完全平方 $(x-4)^2$，右边为 $6$：
$$
(x-4)^2 = 6
$$
6. 对两边开平方，注意正负号：
$$
x-4 = \pm\sqrt{6}
$$
7. 解出 $x$：
$$
x = 4 \pm \sqrt{6}
$$
练习题三：优化函数表达式
题目：将函数 $f(x) = x^2 - 12x + 40$ 化为顶点形式。
解题过程：
1. 确认表达式的前两项为 $x^2 - 12x$。
2. 将中间项 $-12x$ 的系数 $-12$ 除以 $2$，得到 $-6$。
3. 将 $-6$ 平方，得到 $36$。
4. 在原表达式后添加并减去 $36$，即 $x^2 - 12x + 36 - 36 + 40$。
5. 前三项构成完全平方 $(x-6)^2$，因此原表达式可写为：
$$
f(x) = (x-6)^2 + 4
$$
通过以上三个练习题，我们可以看到配方法在处理二次表达式中的强大作用。它不仅能够帮助我们快速找到解题的关键步骤，还能让我们更好地理解二次函数的几何意义。希望这些练习题能帮助你掌握配方法的基本应用技巧！
